Фонарь-электрошокер

Гуманитарные науки

У нас студенты зарабатывают деньги

 Дипломы, работы на заказ, недорого

Дипломы, работы на заказ, недорого

 Cкачать    курсовую

Cкачать курсовую

 Контрольные работы

Контрольные работы

 Репетиторы онлайн по английскому

Репетиторы онлайн по английскому

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Производная сложной функции Частные производные Ряды Фурье в комплексной форме Комплексная форма ряда Фурье Двойной интеграл Задача о вычислении массы тела Криволинейный интеграл

Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия Математический анализ

Практикум по теме «Криволинейный интеграл»

Задача: Кусочно-гладкая кривая линия L на плоскости соединяет точки А и В и определяется уравнением y = y(x) , [a,b] или x = x(t), y = y(t) (t1<t<t2). Вдоль кривой распределены массы с плотностью f(M) для каждой точки М. Вычислим общую массу всей системы метод интегральной суммы.

Опр. Криволинейным интегралом 1-ого рода от функции f(x,y) вдоль кривой L наз. предел интегральной суммы , полученной в результате разбиения этой кривой на малые участки с длиной si и постоянной плотностью f(xi, yi). Переменной интегрирования является длина кривой s.

J = lim f(xi, yi) si  f(x,y) ds   f(x,y) ds ( 1 )

n

Механический смысл криволинейного интеграла 1 рода : общая масса тел распределенных вдоль кривой с переменной плотностью.

Криволинейный интеграл сводится к обыкновенному определенному интегралу несколькими способами, в зависимости от способа описания кривой L.

1) Кривая L задана параметрически : x = (t) , y = (t) , t1tt2 . 

Тогда, длину отдельного отрезка можно представить в виде

*s == и при n

*sds =dt

J =f(x,y) ds = f((t) ,(t)) dt ( 2 )

2) Кривая L задана явным уравнением :  y = y(x) на [a,b] .

Тогда *s = или ds = dx . В результате имеем

J = f(x,y) ds = f(x,y(x)) dx ( 3 )

Замена в f(x,y) переменной  у на y(x) означает переход к значениям функции на кривой.

При f(x,y) = 1 интеграл определяет длину дуги : S =  dx 

 

 Пример 1. Определить длину дуги кривой  y = x2/2 - 1 , отсеченной осью Ох.

Решение. 

 Точки пересечения линий: (-,0), (,0)

y = x2/2 – 1 , y` = x , = , -  x 

S =   dx = dx =  + ln ()

Пр. 2 Найти координаты центра тяжести дуги циклоиды x = t –sin t, y = 1 –cos t, 0£ t £ p

Решение: Координаты центра тяжести однородной дуги кривой L вычисляются по формулам : xc =  , yc =  , где s – длина дуги. ( 4 )

Имеем (x`t)2 + (y`t)2 = (1 – cos t)2 + (sin t)2 = 2(1 – cos t) = 4 sin2(t/2) , тогда по ( 2 )

ds = 2 sin(t/2) dt и длина дуги S = ds = 2sin(t/2) dt = - 4 cos(t/2) |0p = 4

xc =   = 2/4(t – sin t) sin(t/2) dt = 8/3

yc =  = 2/4(1 – cos t) sin(t/2) dt = 4/3

Задачи для самостоятельного решения

Определить длину кривой : 1) y = ln (sin x) от x = /3  до x = 2/3 ;

2) y = ln(1 – x2) от x = - ½ до x = ½ ; 3) x = t2 , y = t(t2 – 3) /3 между точками пересечения с осью Ох.

Опр. Криволинейным интегралом 2-ого рода от функции f(x,y,z) вдоль пространственной кривой L наз. предел интегральной суммы , полученной в результате разбиения этой кривой на малые участки. Переменной интегрирования является не длина кривой, а её проекции на ось Оx или Оу или Oz .

J = lim f(Mi) xi  f(x,y,z) dx ; J = lim f(Mi) yi  f(x,y,z) dy

J = lim f(Mi) zi  f(x,y,z) dz

Объединяя эти интегралы приходим к общему виду криволинейный интеграл 2-ого рода

J =P(x,y,z)dx + Q(x,y,z)dy + R(x,y,z)dz  Pdx + Qdy + Rdz ( 5 )

Интеграл 2-ого рода меняет знак на противоположный при изменении направления пути интегрирования. 

Практикум по теме «Тройной интеграл» Задача о вычислении массы тела. Имеем объем V заполненный массой с переменной плотностью f(x,y,z). Вычислим общую массу по всему объему методом интегральной суммы.

Пример. Вычислить тройной интеграл J = , где : y = x, y = 0, x = 1, z =, z = 0.

Вычисление интегралов Кривая  L задана параметрически : x =(t), y = (t), z = (t), t1tt2 . 


Векторная алгебра