Производная сложной функции Частные производные Ряды Фурье в комплексной форме Комплексная форма ряда Фурье Двойной интеграл Задача о вычислении массы тела Криволинейный интеграл

Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия Математический анализ

Практикум по теме «Криволинейный интеграл»

Задача: Кусочно-гладкая кривая линия L на плоскости соединяет точки А и В и определяется уравнением y = y(x) , [a,b] или x = x(t), y = y(t) (t1<t<t2). Вдоль кривой распределены массы с плотностью f(M) для каждой точки М. Вычислим общую массу всей системы метод интегральной суммы.

Опр. Криволинейным интегралом 1-ого рода от функции f(x,y) вдоль кривой L наз. предел интегральной суммы , полученной в результате разбиения этой кривой на малые участки с длиной si и постоянной плотностью f(xi, yi). Переменной интегрирования является длина кривой s.

J = lim f(xi, yi) si  f(x,y) ds   f(x,y) ds ( 1 )

n

Механический смысл криволинейного интеграла 1 рода : общая масса тел распределенных вдоль кривой с переменной плотностью.

Криволинейный интеграл сводится к обыкновенному определенному интегралу несколькими способами, в зависимости от способа описания кривой L.

1) Кривая L задана параметрически : x = (t) , y = (t) , t1tt2 . 

Тогда, длину отдельного отрезка можно представить в виде

*s == и при n

*sds =dt

J =f(x,y) ds = f((t) ,(t)) dt ( 2 )

2) Кривая L задана явным уравнением :  y = y(x) на [a,b] .

Тогда *s = или ds = dx . В результате имеем

J = f(x,y) ds = f(x,y(x)) dx ( 3 )

Замена в f(x,y) переменной  у на y(x) означает переход к значениям функции на кривой.

При f(x,y) = 1 интеграл определяет длину дуги : S =  dx 

 

 Пример 1. Определить длину дуги кривой  y = x2/2 - 1 , отсеченной осью Ох.

Решение. 

 Точки пересечения линий: (-,0), (,0)

y = x2/2 – 1 , y` = x , = , -  x 

S =   dx = dx =  + ln ()

Пр. 2 Найти координаты центра тяжести дуги циклоиды x = t –sin t, y = 1 –cos t, 0£ t £ p

Решение: Координаты центра тяжести однородной дуги кривой L вычисляются по формулам : xc =  , yc =  , где s – длина дуги. ( 4 )

Имеем (x`t)2 + (y`t)2 = (1 – cos t)2 + (sin t)2 = 2(1 – cos t) = 4 sin2(t/2) , тогда по ( 2 )

ds = 2 sin(t/2) dt и длина дуги S = ds = 2sin(t/2) dt = - 4 cos(t/2) |0p = 4

xc =   = 2/4(t – sin t) sin(t/2) dt = 8/3

yc =  = 2/4(1 – cos t) sin(t/2) dt = 4/3

Задачи для самостоятельного решения

Определить длину кривой : 1) y = ln (sin x) от x = /3  до x = 2/3 ;

2) y = ln(1 – x2) от x = - ½ до x = ½ ; 3) x = t2 , y = t(t2 – 3) /3 между точками пересечения с осью Ох.

Опр. Криволинейным интегралом 2-ого рода от функции f(x,y,z) вдоль пространственной кривой L наз. предел интегральной суммы , полученной в результате разбиения этой кривой на малые участки. Переменной интегрирования является не длина кривой, а её проекции на ось Оx или Оу или Oz .

J = lim f(Mi) xi  f(x,y,z) dx ; J = lim f(Mi) yi  f(x,y,z) dy

J = lim f(Mi) zi  f(x,y,z) dz

Объединяя эти интегралы приходим к общему виду криволинейный интеграл 2-ого рода

J =P(x,y,z)dx + Q(x,y,z)dy + R(x,y,z)dz  Pdx + Qdy + Rdz ( 5 )

Интеграл 2-ого рода меняет знак на противоположный при изменении направления пути интегрирования. 

Практикум по теме «Тройной интеграл» Задача о вычислении массы тела. Имеем объем V заполненный массой с переменной плотностью f(x,y,z). Вычислим общую массу по всему объему методом интегральной суммы.

Пример. Вычислить тройной интеграл J = , где : y = x, y = 0, x = 1, z =, z = 0.

Вычисление интегралов Кривая  L задана параметрически : x =(t), y = (t), z = (t), t1tt2 . 


Векторная алгебра