Фонарь-электрошокер

Гуманитарные науки

У нас студенты зарабатывают деньги

 Дипломы, работы на заказ, недорого

Дипломы, работы на заказ, недорого

 Cкачать    курсовую

Cкачать курсовую

 Контрольные работы

Контрольные работы

 Репетиторы онлайн по английскому

Репетиторы онлайн по английскому

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Производная сложной функции Частные производные Ряды Фурье в комплексной форме Комплексная форма ряда Фурье Двойной интеграл Задача о вычислении массы тела Криволинейный интеграл

Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия Математический анализ

Тройной интеграл. Задача о вычислении массы тела.

Имеем объем  V заполненный массой с переменной плотностью r(x,y,z). Вычислим общую массу по всему объему методом интегральной суммы.

Операция разбиения. Разделим V на n элементарных объемов DV1, DV3,V3, . . . , DVn и в пределах каждого из них выделим точку Mi().

2. Масса элементарного объема приближенно равна  r() DVi .

3. Приближенное значение массы всего тела определяет интегральная сумма

m(n) = r() DVi ( 15)

4. В пределе, когда n ® ¥  и все DVi ® 0 , получаем точное решение задачи

m = lim r() DVi º

Опр. Тройным интегралом от функции трех переменных  f(x,y,z) по объему V наз. предел интегральной суммы, полученной путем разбиения объема V на элементарные области.

J =   = ( 16 )

Физический смысл тройного интеграла – масса тела переменной плотности.

Основные свойства интеграла.

10.  Постоянный множитель выносится за знак интеграла

а f(x,y,z) dx dy dz = аf(x,y,z) dx dy dz

т.к. общий множитель членов интегральной суммы можно вынести за скобку.

20. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов

  [f(x,y,z) + g(x,y,z)]dx dy dz = f(x,y,z) dx dy dz +g(x,y,z) dx dy dz

т.к. такая интегральная сумма разделяется на две части.

30 . Аддитивность области интегрирования. Если V = V1 + V2 , то

f(x,y,z) dx dy dz = f(x,y,z) dx dy dz +  f(x,y,z) dx dy dz

40. Интеграл от функции f(x,y,z) = 1 численно равен объему области интегрирования V

V = dx dy dz

50 . Теорема о среднем. f(x,y,z) dx dy dz = f() V

Тройной интеграл от непрерывной функции всегда можно представить как произведение объема, области интегрирования V , на значение функции f() в некоторой точке, т.к. любому телу с переменной плотностью всегда можно сопоставить тело с постоянной плотность f() = m/V  при таком же объеме V и массе m . Точка с координатами () всегда существует в области V.

Вычисление интегралов.

Вычисление тройных интегралов сводится к вычислению повторных интегралов при детальном учете конфигурации области интегрирования.

Прямоугольные координаты - x, y, z .

1. V - прямоугольный параллепипед ( a  x  b , c  y  d , p  z q ) , тогда

f(x,y,z) dx dy dz = dxdyf(x,y,z) dz ( 17 )

При вычислении внутренних интегралов оставшиеся переменные рассматриваются как константы. Возможен любой порядок интегрирования по х, у , z .

V - цилиндрический брус, который ограничен двумя гладкими поверхностями z = z1(x,y) , z = z2(x,y) и его проекция на плоскость хОу образует правильную область D, например, a  x  b , y1(x)  y  y2(x) , тогда

f(x,y,z) dx dy dz = dxdyf(x,y,z) dz = 

= dxdyf(x,y,z) dz ( 18 )

r = |ON| r = |OM|

j = (ON^Ox) j = (ON^Ox)

q = (OM^Oz)

Цилиндрические координаты - r, j, z .

Переход к ним : x = r cos j , y = r sin j , z = z  , удобен, когда область D образует круг или криволинейный сектор: r = r1(j ) , r = r2(j ) ,  . Тогда

f(x,y,z) dv =rdrdjf*(r,j,z) dz =  f*(r,j,z) dz ( 19 )

Здесь f*(r,j,z) = f(r cosj, r sinj, z) , z1* = z1(r cosj, r sinj) , z2* = z2(r cosj, r sinj) .

Сферические координаты - r, j, q .

Переход к ним : x = r cos j sin q , y = r sin j sin q , z = r cos q , удобен, когда V образует шар или его телесный угол. В случае шара x2 + y2 + z2 £ R2 пределы интегрирования: 0 £ j £ 2p , 0 £ q £ p , 0 £ r £ R.

f(x,y,z) dv = f(r cosj sinq, r sinj sinq, r cosq) r2 sinq dr dj dq ( 20 )

Пр.5 Вычислить J = z dv , где V: 0 £ x £ ½ , x £ y £ 2x , 0 £ z £ .

J = dxdyz dz , J1 = z dz = ½ (1 – x2 – y2),

J2 = ½(1 – x2 – y2)dy = ½ [(1-x2)y – y3] |x2x =

=  ½(x- x3), J = ½( x - x3)dx = 7/192 

 Пр. 6 Вычислить J = x2 dx dy dz , где V - шар x2 + y2 + z2 £ R2 .

J = { x = r cos j sin q , y = r sin j sin q , z = r cos q } = r4sin3q cos2q drdjdq =

=   sin3q dq cos2j dj r4 dr

J1 = r4 dr = R5/5 ; J2 = cos2j dj = ½ (1 + cos2j) dj  = p ;

J3 =   sin3q dq  = - (1 – cos2q) d(cosq) = 4/3 ; J =

Пр. 7 Вычислить J = zdx dy dz , где V ограничен цилиндром x2 + y2 = 2x и

плоскостями  y = 0, z = 0, z = a .

Область D : x2 + y2 = 2x Þ  (x – 1)2 + y2 = 1 - окружность с центром в (1; 0) и R = 1. J = { x = r cos j, y = r sin j, z = z }. Строим полярное уравнение x2 + y2 = 2x Þ r = 2 cos j .

Вычисляем пределы интегрирования из условий r = 2cos j = 0 , y = 0 Þ 

J = ; J1 = z dz = ½ a2 ; J2 = r2 dr = 8/3 cos3j ;

J3 = cos3j dj = (1 – sin2j) d(sinj)  = [ sinj - 1/3 sin3j ] 0p/2 = 2/3

Замена переменных в двойных интегралах связана с переходом от прямоугольной к криволинейной системам координат.

Практикум по теме «Двойной интеграл»

Пример. Изменить порядок интегрирования  J = 

Преобразования плоских областей. Замена переменных в двойных интегралах связана с переходом от прямоугольной системы координат хОу к криволинейной системе координат uOv , где элементу площади dxdy будут соответствовать элемент площади |J| dudv. Якобиан J - коэффициент искажения плоскости. В полярной системе координат dxdy  r d dr.


Векторная алгебра