Производная сложной функции Частные производные Ряды Фурье в комплексной форме Комплексная форма ряда Фурье Двойной интеграл Задача о вычислении массы тела Криволинейный интеграл

Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия Математический анализ

Разложить в ряд Фурье функцию , заданную на интервале  уравнением .

Решение. В данном случае удобно использовать комплексную форму ряда Фурье. По формуле (16)

.

По формулам Эйлера

.

Следовательно, ,

.

В интервале  ряд представляет функцию , а в точках  его сумма равна .

Заметим, что полученный ряд в комплексной форме можно преобразовать к обычной тригонометрической форме ряда Фурье, для этого следует объединить слагаемые с индексами  и  и заменить в результате по формулам Эйлера показательные функции тригонометрическими:

 

при .

Следовательно,

.

ПРИМЕРЫ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

1. Разложить в интервале  по синусам кратных дуг функцию

 .

Ответ: .

2. Разложить в интервале  по косинусам кратных дуг функцию

Ответ: .

Разложить в интервале  в ряд Фурье функцию .

Ответ: .

4. Разложить в ряд Фурье функцию, заданную на интервале  уравнением

Ответ: .

5. Разложить в интервале  в неполный ряд Фурье, содержащий только косинусы или только синусы, функцию

Ответ: а) ;

 

 б)

6. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию  при , .

Ответ: .

7. Разложить функцию  в интервале  в неполный ряд Фурье, содержащий только синусы.

Ответ:

Интеграл Фурье Пусть функция (сигнал)  описывает некоторый периодический процесс. С целью исследования этого процесса часто представляют функцию  в виде суммы постоянного члена и гармонических составляющих с частотами

Разложить в ряд Фурье функцию , заданную на интервале  уравнением . Решение. Рассмотрим два возможных (из бесчисленных) способа разложения этой функции в ряд Фурье на заданном интервале.

Представить интегралом Фурье заданную на всей оси функцию

Найти косинус- и синус-преобразования Фурье функции


Векторная алгебра