Фонарь-электрошокер

Гуманитарные науки

У нас студенты зарабатывают деньги

 Дипломы, работы на заказ, недорого

Дипломы, работы на заказ, недорого

 Cкачать    курсовую

Cкачать курсовую

 Контрольные работы

Контрольные работы

 Репетиторы онлайн по английскому

Репетиторы онлайн по английскому

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Действия с матрицами Векторная алгебра Преобразование прямоугольных координат на плоскости Поверхности и линии в пространстве Уравнение прямой в пространстве Предел функции на бесконечности Физический смысл дифференциала

Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия Математический анализ

Лекция 26

Частные производные

Пусть функция  определена в окрестности точки . Зададим переменной   в точке  приращение , оставляя  неизменным, т.е. перейдем к точке , принадлежащей области  (области определения функции).

Определение 26.1.

называется частным приращением по переменной  в точке

Определение 26.2.

Если существует предел , то он называется частной производной функции  в точке  по переменной .

Обозначение: .

Аналогично определяется

.

Если рассматривать частную производную по переменной  в любой точке области определения функции на области , то частные производные можно рассматривать как новые функции на области .

Таким образом, частная производная функции двух переменных по переменной  есть обычная производная одной переменной   при фиксированном значении .

Пример 26.1.

Найти частные производные функций: , , .

1) .

, .

2)

.

3) .

26.2. Понятие дифференцируемости функции двух переменных

Определение 26.3.

Пусть определена функция , тогда

 - полное приращение функции.

Определение 26.4.

Пусть функция  определена в окрестности точки .

Функция  называется дифференцируемой в точке , если ее полное приращение в этой точке может быть представлено в виде:

 (26.1),

где -константы, -бесконечно малые функции при .

Теорема 26.1.

Если функция  дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке.

Доказательство.

Очевидно из (26.1): .

Теорема 26.2 (необходимое условие дифференцируемости).

Если функция  дифференцируема в точке , то она имеет в этой точке частные производные  , причем:

 . (26.2)

Доказательство.

Пусть имеет место формула (26.1).

Положим ,

где  при  - бесконечно малая функция.

Разделив на , и переходя к пределу при , получим:

,

то есть частная производная по переменной  существует и равна .

Второе равенство доказывается аналогично.

Замечание 1. Из непрерывности  не следует ее дифференцируемость!

Пример 26.2.

 непрерывна в точке (0,0), но  не существует.

Аналогочно, не существует частной производной по . Следовательно, функция не дифференцируема.

Замечание 2. Из существования частных производных не следует дифференцируемость функции.

Пример 26.3.

Функция  имеет частные производные в точке (0,0),

но  не является в этой точке непрерывной, следовательно –

не дифференцируема.

Теорема 26.3 (достаточное условие дифференцируемости).

Если функция  имеет частные производные в некоторой окрестности точки  и эти производные непрерывны в самой точке , то функция дифференцируема в точке .

Следствие.

Если частные производные непрерывны, то функция непрерывна.

Определение 26.5.

Если функция  дифференцируема в точке , то дифференциалом  называется линейная относительно приращений   часть полного приращения этой функции в точке , т.е.

, или

 (26.3)

Дифференциалами независимых переменных  называются их приращения

  (26.3’)

26.3. Производная сложной функции двух переменных

Пусть  – функция двух переменных  и каждая из них является функцией от переменной :.

Тогда  – сложная функция переменной .

Теорема 26.4.

Если функции  дифференцируемые в точке ,

 – дифференцируема в точке , то сложная функция   также дифференцируема в точке . При этом:

 (26.4)

Пример 26.4.

1)

.

2)

.

Замечание 3.

Если  и , то .

Функции двух переменных В естествознании встречаются ситуации, когда одна величина является функцией нескольких других:

Отыскание наибольших и наименьших значений непрерывной на отрезке функции Функция принимает наибольшее (наименьшее) значение на отрезке  в точке .

Непрерывность функции двух переменных Функция  называется непрерывной в точке , если она определена в некоторой окрестности этой точки (включая саму точку) и предел функции в этой точке существует, и равен значению функции в этой точке, т.е.  или .

Неявные функции, условие их существования. Дифференцируемость неявных функций


Задача о вычислении массы тела