Действия с матрицами Векторная алгебра Преобразование прямоугольных координат на плоскости Поверхности и линии в пространстве Уравнение прямой в пространстве Предел функции на бесконечности Физический смысл дифференциала

Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия Математический анализ

Лекция 22

Производная сложной функции

Теорема 22..1.

Если функция  имеет производную в точке , а функция  имеет производную в точке , то сложная функция  имеет производную в точке  и имеет место формула:

 или  или . (22.1)

Замечание 1. Если , то , где ,

,  - дифференцируемые функции своих аргументов.

Пример 22.1.

Вычислить производную сложной функции .

,

  

, , тогда

.

22.2. Дифференциал сложной функции

По определению,  (*).

Если , , т.е.,  то

.

Таким образом, равенство (*) справедливо для сложной функции, т.е. когда - зависимая переменная.

Это свойство называется

инвариантностью формы первого дифференциала.

22.3. Производная обратной функции

Теорема 22.2.

Пусть функция  непрерывна и строго монотонна в некоторой окрестности точки  и пусть в этой точке существует и не равна нулю производная функции ( ). Тогда обратная функция  имеет производную в точке , причем: . (22.2)

Доказательство.

Из существования и непрерывности функции  следует, что обратная функция   существует и непрерывна в окрестности точки . Следовательно

 .

Тогда , то есть выполняется равенство (22.2).

Геометрический смысл производной обратной функции

Рассмотрим в окрестности точки  график функции . Известно, .

Тогда если , или ,

то  - угол наклона касательной к оси .

Поскольку , то

.

Пример 22.2.

Вычислить производную функции .

 .

В формуле  взят знак «+»

т.к. при  .

Пример 22.3.

Вычислить производную функции .

.

.

В частности, при имеем .

Производная функции, заданной неявно Если дифференцируемая функция задана уравнением , то производная этой неявной функции может быть найдена из уравнения , где рассматривается как сложная функция от переменной x.

Основные теоремы дифференциального исчисления Теорема Ферма

Раскрытие неопределенностей

Исследование поведения функций одной переменной и построение графиков Признак монотонности функций


Задача о вычислении массы тела