Фонарь-электрошокер

Гуманитарные науки

У нас студенты зарабатывают деньги

 Дипломы, работы на заказ, недорого

Дипломы, работы на заказ, недорого

 Cкачать    курсовую

Cкачать курсовую

 Контрольные работы

Контрольные работы

 Репетиторы онлайн по английскому

Репетиторы онлайн по английскому

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Действия с матрицами Векторная алгебра Преобразование прямоугольных координат на плоскости Поверхности и линии в пространстве Уравнение прямой в пространстве Предел функции на бесконечности Физический смысл дифференциала

Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия Математический анализ

Лекция 22

Производная сложной функции

Теорема 22..1.

Если функция  имеет производную в точке , а функция  имеет производную в точке , то сложная функция  имеет производную в точке  и имеет место формула:

 или  или . (22.1)

Замечание 1. Если , то , где ,

,  - дифференцируемые функции своих аргументов.

Пример 22.1.

Вычислить производную сложной функции .

,

  

, , тогда

.

22.2. Дифференциал сложной функции

По определению,  (*).

Если , , т.е.,  то

.

Таким образом, равенство (*) справедливо для сложной функции, т.е. когда - зависимая переменная.

Это свойство называется

инвариантностью формы первого дифференциала.

22.3. Производная обратной функции

Теорема 22.2.

Пусть функция  непрерывна и строго монотонна в некоторой окрестности точки  и пусть в этой точке существует и не равна нулю производная функции ( ). Тогда обратная функция  имеет производную в точке , причем: . (22.2)

Доказательство.

Из существования и непрерывности функции  следует, что обратная функция   существует и непрерывна в окрестности точки . Следовательно

 .

Тогда , то есть выполняется равенство (22.2).

Геометрический смысл производной обратной функции

Рассмотрим в окрестности точки  график функции . Известно, .

Тогда если , или ,

то  - угол наклона касательной к оси .

Поскольку , то

.

Пример 22.2.

Вычислить производную функции .

 .

В формуле  взят знак «+»

т.к. при  .

Пример 22.3.

Вычислить производную функции .

.

.

В частности, при имеем .

Производная функции, заданной неявно Если дифференцируемая функция задана уравнением , то производная этой неявной функции может быть найдена из уравнения , где рассматривается как сложная функция от переменной x.

Основные теоремы дифференциального исчисления Теорема Ферма

Раскрытие неопределенностей

Исследование поведения функций одной переменной и построение графиков Признак монотонности функций


Задача о вычислении массы тела