Фонарь-электрошокер

Гуманитарные науки

У нас студенты зарабатывают деньги

 Дипломы, работы на заказ, недорого

Дипломы, работы на заказ, недорого

 Cкачать    курсовую

Cкачать курсовую

 Контрольные работы

Контрольные работы

 Репетиторы онлайн по английскому

Репетиторы онлайн по английскому

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Действия с матрицами Векторная алгебра Преобразование прямоугольных координат на плоскости Поверхности и линии в пространстве Уравнение прямой в пространстве Предел функции на бесконечности Физический смысл дифференциала

Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия Математический анализ

Лекция 19

Предел функции на бесконечности

Определение 19.1.

Число А называется пределом функции f(x) при , если для любой бесконечно большой последовательности соответствующая последовательность сходится к А.

.

Определение 19.2.

Число А называется пределом функции f(x) при

если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента, элементы  которой положительны (отрицательны), соответствующая последовательность значений функции сходится к А.

19.2. Некоторые свойства функций, имеющих предел

Теорема 19.1 (об ограниченности функций, имеющих предел)

Если , то существует некоторая проколотая окрестность этой точки , в которой функция ограничена.

Доказательство

Пусть  .

Теорема 19.2.

Если , то .

Теорема 19.3.

Если в некоторой окрестности точки , то .

Теорема19.4(арифметические операции над функциями, имеющими предел).

Если существуют  и  то существуют конечные пределы   , если , причем  ,  (19.1).

 

Доказательство

Для любой последовательности  формулы (19.1) справедливы, следовательно: .

По определению 18.1 .

Остальные формулы доказываются аналогично.

Следствие.

Если существует , то существует , где .

Теорема 19.5.

Пусть  определены в некотором множестве X.

Пусть для любого  из некоторого промежутка, содержащего точку  выполняются неравенства  и  имеют одинаковые пределы при   тогда функция  имеет тот же предел при .

19.3 Два замечательных предела

Докажем, что  (первый замечательный предел).

Рассмотрим дугу окружности OA=R=1 c центральным углом  

Тогда MK=sin x, AN=tg x.

,

,

,

,

.

Так как функции  и  имеют в точке равный единице предел, то в силу теоремы 19.5:

, т.е. 1 – правый предел.

Так как  – четная функция, то .

Пример 19.1

Вычислить .

.

Заметим  – второй замечательный предел.

Математический анализ Элементы теории множеств Логические символы

Пример Показать, что последовательность  не имеет предела. Действительно, пусть а – предел xn.

Число е Рассмотрим последовательность {xn} с общим членом .

Односторонние пределы Если у любой сходящейся к точке  последовательности  все ее элементы меньше , а соответствующая последовательность  сходится к , то число  называется левым пределом функции .


Задача о вычислении массы тела