Фонарь-электрошокер

Гуманитарные науки

У нас студенты зарабатывают деньги

 Дипломы, работы на заказ, недорого

Дипломы, работы на заказ, недорого

 Cкачать    курсовую

Cкачать курсовую

 Контрольные работы

Контрольные работы

 Репетиторы онлайн по английскому

Репетиторы онлайн по английскому

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Действия с матрицами Векторная алгебра Преобразование прямоугольных координат на плоскости Поверхности и линии в пространстве Уравнение прямой в пространстве Предел функции на бесконечности Физический смысл дифференциала

Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия Математический анализ

Уравнение прямой в пространстве

Поскольку пересекающиеся плоскости пересекаются по прямой, то (14.10), причем  (14.11).

Система уравнений (14.10) с условием (14.11) называется общим уравнением прямой в пространстве. Данная система линейных неоднородных уравнений совместна и имеет общее решение следующего вида:

(14.12)

,

где  – частное решение (14.10),  – фундаментальная система решений соответствующей системы линейных однородных уравнений.

Геометрически (14.12) означает:

Пусть точка . Любая точка  получается прибавлением к радиус-вектору точки  некоторого вектора, коллинеарного  - направляющего вектора прямой.

Уравнение (14.12) можно переписать в виде  или

, (14.13)

 – векторно-параметрическое уравнение прямой  или

 (14.14)

– параметрические уравнения прямой в пространстве.

Исключая параметр , получим:

(14.15)

– канонические уравнения прямой в пространстве.

Здесь равенства (14.15) следует воспринимать как пропорцию.

Пример 14.3.

Пусть прямая задана каноническими уравнениями  (*).

Тогда уравнения (*) равносильны системе: , .

Если необходимо написать уравнение прямой, проходящей через две точки   и , то  – направляющий вектор, тогда

(14.16)

– уравнение , проходящей через 2 точки.

Утверждение 14.6.

Если прямая , задана как пересечение двух плоскостей системой (14.10), то вектор  (14.17)

– является направляющим вектором , т.е. .

50 Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Пусть ; .

 и  либо пересекаются, либо параллельны (в частном случае совпадают), либо скрещиваются.

. В случае если  или пересекаются, существует плоскость, которой прямые принадлежат. Поэтому выполняется условие:

. (14.18)

Утверждение 14.7.

Прямые  и  скрещиваются тогда и только тогда, когда

. (14.19)

Если прямые пересекаются, то может решаться задача нахождения угла между прямыми. В этом случае угол определяется углом между направляющими векторами.

Если прямые параллельны, то возникает задача нахождения расстояния между ними:

Плоскость, содержащая параллельные прямые, имеет вектор нормали: , .

(14.20)

.

Замечание:

A) , т.е. .

B) , т.е. .

Если прямые скрещиваются, то расстояние между ними равно высоте параллелепипеда, построенного на векторах , т.е.

(14.21)

.

Некоторые задачи на прямую и плоскость в пространстве Найти угол между прямой и плоскостью.

Ограниченные и неограниченные множества

Сфера Множество точек пространства, равноудаленных от данной точки , называемой центром, называется сферой.

Двуполостный гиперболоид Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, которая в прямоугольной системе координат определяется уравнением


Задача о вычислении массы тела