Фонарь-электрошокер

Гуманитарные науки

У нас студенты зарабатывают деньги

 Дипломы, работы на заказ, недорого

Дипломы, работы на заказ, недорого

 Cкачать    курсовую

Cкачать курсовую

 Контрольные работы

Контрольные работы

 Репетиторы онлайн по английскому

Репетиторы онлайн по английскому

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Действия с матрицами Векторная алгебра Преобразование прямоугольных координат на плоскости Поверхности и линии в пространстве Уравнение прямой в пространстве Предел функции на бесконечности Физический смысл дифференциала

Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия Математический анализ

Лекция 14

ТЕМА: Поверхности и линии в пространстве

Определение 14.1.

Уравнением поверхности (в фиксированной системе координат) называется такое уравнение с тремя переменными , которому удовлетворяют координаты   любой точки данной поверхности и только они.

Здесь  – некоторая зависимость между переменными.

Пример 14.1.

 – уравнение сферы ().

10 Уравнение линии в пространстве

Определение 14.2.

Линию в пространстве можно рассматривать как пересечение двух поверхностей, поэтому она определяется двумя уравнениями:

.

Пример 14.2.

.

Линия, как пересечение поверхностей, определяет окружность, лежащую в плоскости  ().

20 Общее уравнение плоскости

2.1. Уравнение плоскости по точке и нормальному вектору

Дано: ,  – нормальный вектор, .

Написать уравнение плоскости.

Выберем произвольную точку ,

тогда , , т.е.

(14.1)

– уравнение плоскости.

2.2. Общее уравнение плоскости

Из уравнения (14.1) с помощью элементарных преобразований получим:  или

(14.2)

– общее уравнение плоскости.

Очевидно, что общее уравнение плоскости является алгебраическим уравнением первого порядка относительно трех переменных  и определяет поверхность первого порядка.

Проведем исследование (положение плоскости в частных случаях).

А). , .

Т.к. координаты точки  - удовлетворяют данному уравнению, плоскость проходит через начало координат.

Б). , , , значит , следовательно .

Аналогично, если , ; , .

В). При , . Плоскость проходит через ось .

Аналогично, при  – плоскость проходит через ось ;

при  – плоскость проходит через ось .

Г). ,   . Данное уравнение определяет плоскость, параллельную , т.к. , , .

Аналогично,   , ;   , .

Д). ,  ().

Аналогично, ,  (); ,  ().

2.3.Уравнение плоскости в отрезках

, , .

(14.3)

.

– уравнение плоскости в отрезках.

Уравнение плоскости по трем точкам

Пусть .

Выберем произвольную точку . Тогда , ,.

Т.к. векторы лежат в одной плоскости, они компланарны, следовательно их смешанное произведение равно нулю:  

(14.4)

.

– уравнение плоскости по трем точкам.

Нормальное уравнение плоскости

Нормальное уравнение плоскости строиться по аналогии с нормальным уравнением прямой и имеет вид:

. (14.5)

30 Взаимное расположение плоскостей в пространстве

Пусть  - нормальный вектор для плоскости .

Утверждение 14.1.

Вектор  параллелен плоскости , заданный уравнением (14.2) тогда и только тогда, когда

. (14.6)

Утверждение 14.2.

Плоскость , заданная уравнением  и плоскость , заданная уравнением   параллельны тогда и только тогда, когда

. (14.7)

Доказательство.

Действительно, , если  и  коллинеарны, т.е. , , , т.е. . Верно и обратное.

Утверждение 14.3.

  Плоскости  и  совпадают тогда и только тогда, когда

. (14.8)

Утверждение 14.4.

Плоскости  и  пересекаются тогда и только тогда, когда  и  неколлинеарны, причем угол между ними равен углу между нормальными векторами.

Утверждение 14.5.

Пусть плоскости  и  пересекаются по прямой, тогда плоскость   проходит через эту прямую, причем ее уравнение имеет вид:

, где  одновременно. (14.9)

Построение гиперболы При построении гиперболы необходимо построить прямоугольник со сторонами   и  и провести диагонали, которые и являются асимптотами (см. рис.). ,  - вершины гиперболы,  - действительная полуось,  - мнимая полуось,  - центр гиперболы.

Пример Уравнение окружности  привести к каноническому виду.

Уравнение эллипса , привести к каноническому виду.

Парабола. Параболой называется геометрическое место точек, равноудаленных от прямой, называемой директрисой и точки, называемой фокусом.


Задача о вычислении массы тела