Действия с матрицами Векторная алгебра Преобразование прямоугольных координат на плоскости Поверхности и линии в пространстве Уравнение прямой в пространстве Предел функции на бесконечности Физический смысл дифференциала

Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия Математический анализ

Лекция 12

Преобразование прямоугольных координат на плоскости

А) При переходе от системы координат  к новой , связь между старыми и новыми координатами некоторой точки  плоскости определяется следующими формулами:

(12.1)

Б) При повороте координатных осей

на   связь между

старыми и новыми координатами

выражается следующим образом:

c каждой из систем свяжем полярную

систему координат: .

Тогда:

Итак,

(12.2)

.

Замечание 1. Если поворот по часовой стрелке на , то в формуле (12.2) :

(12.2’)

.

Кривые второго порядка

Рассмотрим алгебраическое уравнение второй степени относительно   и:

(12.3)

,

где , , т.е.  одновременно не равны .

Уравнение (12.3) определяет кривую второго порядка.

10 Окружность.

Определение 12.1.

Геометрическое место точек, равноудаленных от одной точки, называемый центром, называется окружностью.

В  выберем произвольную точку , тогда если окружности, то

 

или

(12.4)

.

Если , то

(12.4’)

.

- каноническое (простейшее) уравнение окружности

Замечание 2.

Если , то окружность стягивается в точку . Если в правой части уравнения (12.4) (), то уравнение определяет мнимую окружность.

Выясним, при каких условиях равенство (12.3) определяет окружность, мнимую окружность или точку.

Для этого преобразуем равенство (12.4):

.

. Заметим  (*).

Чтобы уравнения (12.3) при условии (*) привести к каноническому виду (12.4), необходимо выделить полный квадрат относительно  и .

Аналитическая геометрия Прямая на плоскости Уравнением линии на плоскости (относительно выбранной системы координат) называется такое уравнение (неявный вид), которому удовлетворяют координаты  любой точки данной линии, и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежащей на этой линии.

Скалярное произведение векторов и его свойства Скалярным произведением двух векторов  и  называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними

Смешанное произведение векторов Смешанным произведением векторов называется произведение следующего вида: , т.е. вначале вектора  и  перемножаются векторно, а затем результат умножается скалярно на вектор .

Уравнение прямой в отрезках


Задача о вычислении массы тела