Теорема синусов Изображение многоугольников и многогранников Построения на изображениях Параллелепипед Касания круглых тел с прямой и плоскостью Поверхности второго порядка Ранг матрицы Метод Гаусса

Конспект школьного курса по математике. Примеры решения задач

Касания круглых тел с прямой и плоскостью

Касательной плоскостью к сфере называется плоскость, имеющая единственную общую точку со сферой.

Через любую точку A сферы проходит единственная касательная плоскость. Эта плоскость перпендикулярна радиусу OA сферы, где O – центр сферы.

Доказательство
1
Рисунок 5.5.1.

Пусть α – некоторая плоскость, проходящая через A и перпендикулярная OA (рис. 5.5.1). Все точки плоскости α, кроме точки A , удалены от точки O на расстояние большее, чем OA , поскольку кратчайший путь от точки до плоскости – это путь по перпендикуляру к плоскости. Значит, α – касательная плоскость. Обратно, если некоторая плоскость касается сферы в точке A , то A – ближайшая к O точка плоскости. Значит, эта плоскость совпадает с α.

Теорема 5.3. Геометрические приложения двойного интеграла

Если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы, то линия сечения сферы этой плоскостью – окружность.

Доказательство
Рисунок 5.5.2. Пример. Найти циркуляцию векторного поля = yi – x j + z k вдоль окружности x = r cos t , y = r sin t , z = 1 в положительном направлении, т.е. 0 < t < 2

Пусть задана сфера ω ( O R ) и плоскость α, O 1  = П p α O , OO 1  <  R по условию. Если произвольная точка A принадлежит линии пересечения сферы и плоскости, то OA  =  R . Из прямоугольного треугольника OO1A имеем Поскольку величины R и OO 1 фиксированы, то и величина O 1 A фиксирована. Это означает, что точка пересечения плоскости α и сферы ω лежит на данном расстоянии от точки O 1, следовательно, точка A лежит на окружности

Из теоремы следует, что, когда расстояние от центра шара до плоскости меньше радиуса, сечение шара этой плоскостью – круг. Если плоскость удалена от центра сферы на расстояние R , то она является касательной плоскостью

Плоскости, равноудаленные от центра сферы, пересекают ее по равным окружностям

Прямая, касающаяся сферы – это прямая, которая имеет единственную общую точку со сферой. Аналогично можно ввести понятие касательной прямой к поверхности конуса (цилиндра) , однако при этом рассматриваются прямые, не проходящие через точки на основании конуса (цилиндра) и через вершину конуса.

Выпуклый многогранник называется вписанным , если все его вершины лежат на некоторой сфере. Эта сфера называется описанной для данного многогранника Выпуклый многогранник называется описанным , если все его грани касаются некоторой сферы. Эта сфера называется вписанной для данного многогранника.

Теорема о вписанной сфере треугольной пирамиды

Если сфера вписана в многогранник, то объем этого многогранника равен где S – площадь полной поверхности многогранника, r – радиус вписанной сферы.


Полярная и сферическая системы координат