Теорема синусов Изображение многоугольников и многогранников Построения на изображениях Параллелепипед Касания круглых тел с прямой и плоскостью Поверхности второго порядка Ранг матрицы Метод Гаусса

Конспект школьного курса по математике. Примеры решения задач

Изображение многоугольников и многогранников

Допустим, что в пространстве задана произвольная плоскость α и пересекающая ее прямая a . Выберем в пространстве произвольную точку M и проведем через нее прямую b , параллельную a .

Определение 4.3. 

Точка пересечения M 1 прямой b с плоскостью a называется параллельной проекцией точки M на эту плоскость. Плоскость α называется плоскостью проектирования, а прямая a – направлением проектирования.

Рисунок 4.2.1. Использование интегралов в экономических расчетах

Определение 4.4. 

Пусть в пространстве задана некоторая фигура K . Отображение, ставящее в соответствие каждой точке M фигуры K ее параллельную проекцию – точку M 1 на плоскость α в направлении a , называется параллельным проектированием (на плоскость α в направлении a ). Множество точек M 1 называется параллельной проекцией фигуры K на плоскость α в направлении a .

  • Найти интеграл , где R ограничена прямой и параболой Решение задач на вычисление интеграла Математика лекции, задачи. Примеры выполнения курсового и типового задания

Параллельное проектирование применяется для изображения пространственных фигур на плоскости и обладает следующими свойствами (здесь мы предполагаем, что направление проектирования не параллельно рассматриваемым отрезкам и прямым; в противном случае проекцией будет являться точка).

    Проекцией прямой является прямая, проекция отрезка есть отрезок. Две параллельные прямые проектируются либо в две параллельные прямые, либо в одну и ту же прямую. Проекции параллельных отрезков лежат либо на параллельных прямых, либо на одной прямой. Длины проекций параллельных отрезков, а также длины проекций отрезков, лежащих на одной прямой, пропорциональны длинам самих этих отрезков.

Изображением данного треугольника может служить любой треугольник.

Для изображения плоского многоугольника выделяют в нем вершины A 1,  A 2,  A 3. Затем строят изображение треугольника A 1 A 2 A 3 в виде произвольного треугольника. Изображение остальных вершин многоугольника строится однозначно с использованием свойств параллельного проектирования.

Из приведенного утверждения следует, что изображением данного треугольника может служить треугольник, подобный любому треугольнику. В частности, любой треугольник можно спроектировать в правильный треугольник, то есть правильный треугольник может служить проекцией любого треугольника.

При изображении многогранников полезно следующее утверждение.

Теорема 4.1. Теорема Польке – Шварца. Изображением данного тетраэдра может служить любой четырехугольник с проведенными в нем диагоналями (не обязательно выпуклый).

Для изображения многогранника выделяют в нем четыре вершины A 1,  A 2,  A 3,  A 4. Затем строят изображение тетраэдра A 1 A 2 A 3 A 4 в виде произвольного четырехугольника с проведенными в нем диагоналями. Изображение остальных вершин многогранника строится однозначно с использованием свойств параллельного проектирования.

Соотношения между сторонами и углами произвольного треугольника

Решить треугольник – значит найти все эти шесть элементов. Обычно даны три элемента, среди которых хотя бы один линейный

Окружностью называется геометрическая фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки плоскости. Эта точка называется центром окружности . Отрезок, соединяющий любую точку окружности с ее центром, а также его длина, называется радиусом окружности.

Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре. Дугой окружности , соответствующей центральному углу, называется часть окружности, расположенная внутри центрального угла.

Градусной мерой дуги окружности называется градусная мера соответствующего центрального угла. Угол называется вписанным в окружность, если вершина его лежит на окружности, а стороны пересекают окружность. Говорят, что вписанный угол опирается на ту дугу окружности , которая не содержит вершину вписанного угла. Так же говорят, что вписанный угол опирается на хорду, соединяющую точки пересечения окружности со сторонами угла.

Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек, называемых вершинами, и четырех соединяющих их отрезков – сторон.

Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны. Высотой параллелограмма , проведенной к данной его стороне, называется перпендикуляр, опущенный из произвольной точки противолежащей стороны к прямой, содержащей данную сторону.


Полярная и сферическая системы координат