Теорема синусов Изображение многоугольников и многогранников Построения на изображениях Параллелепипед Касания круглых тел с прямой и плоскостью Поверхности второго порядка Ранг матрицы Метод Гаусса

Конспект школьного курса по математике. Примеры решения задач

Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, т.е.

Доказательство

Пусть ABC – треугольник со сторонами a b c и соответственно противолежащими им углами α, β, γ. Докажем, что

Опустим из вершины B высоту BD на прямую ( AC ). Вычисление площади криволинейной поверхности.

Пусть все углы Δ  ABC острые. Тогда BD  =  a  sin γ из прямоугольного треугольника BCD . Аналогично из треугольника ABD BD  =  c  sin α. Приравнивая правые части, получаем a  sin γ =  c  sin α или Аналогично, если опустить высоту CE из вершины C на прямую ( AB ), получим CE  =  b  sin α из Δ  ACE , CE  =  a  sin β из Δ  BCE . И, сравнивая эти равенства, имеем

Пусть один из углов (например, γ) тупой. Тогда BD  =  a  sin(180° – γ ) =  a  sin γ из Δ  BCD , BD  =  c  sin α из Δ  ABD . Отсюда a  sin γ =  c  sin α или Далее, опуская высоту CE из вершины C на прямую ( AB ) и рассуждая аналогично пункту 1Следствие 5.1. Дифференциальное исчесление функции одной переменной Понятие производной, ее геометрический и механический смысл Пусть функция y = f (x) определена в точке x0 и некоторой ее окрестности, x – точка из этой окрестности. Введем обозначения: разность x – x0 обозначим через x и назовем приращением аргумента, а разность f(x) – f(x0) обозначим через y и назовем приращением функции.

Пусть даны два треугольника ABC и A 1 B 1 C 1 и углы при вершинах A , B и C одного треугольника равны углам при вершинах A 1, B 1, C 1 соответственно, другого треугольника. Тогда отношения длин сторон этих треугольников, лежащих против равных углов равны, то есть

Доказательство

Действительно из Δ  ABC по теореме синусов имеем Аналогично из Δ  A 1 B 1 C 1 получим

Пусть α и β – угловые величины двух острых углов, причем α < β. Тогда sin α < sin β

Доказательство

Рисунок 5.2.4.

Отложим от луча AB в одну полуплоскость углы BAC и BAD так, что

Следствие 5.2. 

В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, против большей стороны лежит больший угол.

Доказательство

Если все углы треугольника – острые, то этот факт следует из результата леммы 5.1 и теоремы 5.4. Если же один из углов треугольника, например, для определенности γ – тупой, то γ = 180° – (α + β), но sin (180° – (α + β)) = sin (α + β) и по лемме 5.2 sin (α + β) = sin γ > α и sin γ > β. B сново утверждение следует из теоремы  5.4.

Теорема 5.5. Неравенство треугольника.

Каковы бы ни были три точки, расстояние между любыми двумя из этих точек не больше суммы расстояний от них до третьей.

Доказательство

Пусть A B C – три данные точки. Если две точки из трех или все три совпадают, то утверждение теоремы очевидно. Если все три точки различны, но лежат на одной прямой, одна из них лежит между двумя другими без ограничения общности, например, B . Тогда AB  +  BC  =  AC . Отсюда AB  <  AC  <  AC  +  BC BC  <  AC  <  AC  + BC , AC  =  AB  +  BC и утверждение теоремы верно.

Пусть точки A B и C не лежат на одной прямой. Докажем, что AB  <  AC  +  BC . Опустим перпендикуляр CD на прямую AB .. Точки A B D лежат на данной прямой и по доказанному AB  ≤  AD  + BD . Но AD  <  AC и BD  <  BC по построению и свойству наклонной. Отсюда AB  <  AC  +  BC . Теорема доказана.

Рисунок 5.2.6.

Следствие 5.3. 

В любом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон.

Соотношения между сторонами и углами произвольного треугольника

Решить треугольник – значит найти все эти шесть элементов. Обычно даны три элемента, среди которых хотя бы один линейный

Окружностью называется геометрическая фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки плоскости. Эта точка называется центром окружности . Отрезок, соединяющий любую точку окружности с ее центром, а также его длина, называется радиусом окружности.

Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре. Дугой окружности , соответствующей центральному углу, называется часть окружности, расположенная внутри центрального угла.

Градусной мерой дуги окружности называется градусная мера соответствующего центрального угла. Угол называется вписанным в окружность, если вершина его лежит на окружности, а стороны пересекают окружность. Говорят, что вписанный угол опирается на ту дугу окружности , которая не содержит вершину вписанного угла. Так же говорят, что вписанный угол опирается на хорду, соединяющую точки пересечения окружности со сторонами угла.

Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек, называемых вершинами, и четырех соединяющих их отрезков – сторон.

Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны. Высотой параллелограмма , проведенной к данной его стороне, называется перпендикуляр, опущенный из произвольной точки противолежащей стороны к прямой, содержащей данную сторону.


Полярная и сферическая системы координат