ПРАКТИКУМ ПО МЕХАНИКЕ И МОЛЕКУЛЯРНОЙ ФИЗИКЕ

Практикум по физике Лабораторные работы по информатике Microsoft Visio Алгоритмические основы машинной графики AutoCAD
Практикум по механике и молекулярной физике
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ МАЯТНИК
Физический маятник
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ ЮНГА
ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТРУНЫ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ВЯЗКОСТИ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ПОВЕРХНОСТНОГО НАТЯЖЕНИЯ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЛАЖНОСТИ ВОЗДУХА
ОПРЕДЕЛЕНИЕ АДИАБАТИЧЕСКОЙ ПОСТОЯННОЙ ВОЗДУХА
Вынужденные колебания линейного осциллятора
Лабораторные работы по информатике
Определение параметров n-мерных коммутационных структур
Преобразование последовательного алгоритма в параллельный
Представление алгоритмов в виде граф–схем.

Построение матрицы логической несовместимости операторов

Построение множеств взаимно независимых операторов
Определение ранних и поздних сроков окончания выполнения операторов
Запуск параллельных программ на кластере
Microsoft Visio
Спецификация требований к информационной системе
Основы работы в редакторе деловой графики Microsoft Visio 2010.
Лабораторная работа №3
Лабораторная работа №4
Функциональное моделирование
Диаграмма классов
Алгоритмические основы машинной графики

Анимация и морфинг

Отсечение прямоугольным окном
Построение проекции трехмерного объекта
Создание простых объектов
Основные навыки работы с объектами
Привязка объектов
Редактирование формы произвольных кривых
Приемы работы с контурами объектов
Создание цветных изображений
Обмен изображениями с другими программами
Ввод и редактирование текста
СИСТЕМА АВТОМАТИЗИРОВАННОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ AutoCAD
Основы работы с использованием системы AutoCAD
Команды рисования
Нанесение надписей
Команды редактирования
Проставление размеров на чертеже
Работа с блоками чертежа
 

В лабораторной работе используется физическая система, состоящая из ротора, обладающего некоторой массой, спиральной пружины, закрепленной одним концом к ротору, а другим к шатуну, совершающему постоянные синусоидальные колебания некоторой частоты и амплитуды. Система описывается следующими физическими параметрами: момент инерции ротора J, жесткость пружины D, коэффициент затухания g колебаний, характеризующий вязкое трение.

В качестве параметров , характеризующих математическую модель, исспользуется собственная частота колебаний и добротность .

Механическое состояние осциллятора характеризуется угловой скоростью, отклонением осциллятора и шатуна от среднего положения равновесия.

Рассмотрим вынужденные колебания осциллятора с вынуждающим воздействием шатуна, совершающего колебания по закону f=f0sin(wt). Если в момент времени t маховик осциллятора отклонен от среднего положения на угол j, а шатун в этот момент смещен на угол f, то со стороны пружины на маховик действует момент сил –D(j-f)=-Dj+Df0sin(wt). Тогда уравнение вынужденных колебаний без трения примет вид: , где w02=D/J. Если в системе присутствует вязкое трение, то в уравнение добавится дополнительный член 2gj', и оно примет вид что является неоднородным линейным дифференциальным уравнением. Если сравнивать это уравнение с уравнением свободных колебаний маятника, то нетрудно заметить, что здесь правая часть уравнения отлична от нуля.

Общее решение дифференциального уравнения осциллятора записывается в виде: , где первое слагаемое суммы – частное решение неоднородного дифференциального уравнения, соответствующего системе, а второе слагаемое – общее решение однородного уравнения. Произвольные константы определяются начальными условиями

В течение некоторого времени после ключения синусоидальный внешней силы осциллятор «забывает» свое начальное положение состояние (при условии наличия вязкого трения), его колебания приобретают стационарный характер, и осциллятор в совершает незатухающие синусоидальные колебания на частоте внешнего воздействия – установившиеся вынужденные колебания. Фазовая траектория установившихся фазовых колебаний имеет вид эллипса.

Установившиеся вынужденные колебания описываются периодическим частным решением неоднородного дифференциального уравнения j(t) = a sin(wt + d)

Резонанс смещения – явление резкого увеличения амплитуды установившихся колебаний. Условие резонанса можно найти, найдя частоту внешнего воздействия, при которой знаменатель выражения для амплитуды достигает минимума:

Резонансными кривыми называют графики зависимости амплитуды и фазы от вынуждающей частоты. Амплитуда установившихся вынужденных колебаний на резонансе прямо пропорциональна добротности, а ширина резонансной кривой обратно пропорциональна добротности

Если возбуждающий шатун совершает заданное очень медленное колебательное движение около среднего положения, то осциллятор будет совершает колебания в той же фазе и при той же частоте, что и шатун, т.е. ротор будет как бы «ползти» за шатуном

Пользуясь выражением для фазы колебания нетрудно сделать вывод, что при колебания осциллятора и шатуна происходят в фазе, в противном случае – в противофазе.

Отношение резонансной амплитуды ротора  к амплитуде возбуждающего шатуна находится из соотношения . Окончательно: , откуда видно, что это отношение тем больше, чем больше добротность системы.

Мы можем пользоваться частным решением дифференциального уравнения, в котором не учитывается трение, если у нас

В случае установившихся колебаний полная энергия осциллятора в среднем остается постоянной, но в течение периода претерпевает колебания с частотой вдвое большей частоты колебаний осциллятора. В течение четверти пери­ода колебаний энергия передается от шатуна к осциллятору, а в течение следующей четверти цикла - обратно от осциллятора источнику внешнего воздействия, обеспечивающему заданное принудительное движение шатуна.

Если частота шатуна много меньше резонансной частоты осциллятора, маховик следует за медленно движущимся шатуном. Пружина при этом движении почти не деформирована, поэтому ее потенциальная энергия все время близка к нулю. То есть, осциллятор все время находится вблизи самого дна потенциальной ямы, перемещающейся вместе с шатуном. Поэтому при низкой частоте внешнего воздействия кинетическая энергия преобладает.

При очень высокой частоте возбуждения маховик не успевает следовать за быст­рыми колебаниями шатуна, так что максимальные отклонения маховика от среднего поло­жения много меньше размаха колебаний шатуна ψ0. В таких условиях пружина оказывается сравнительно сильно закрученной (приблизительно на угол ψ0 то в одну, то в другую сторону), в то время как максимальная угловая скорость маховика сравнительно невелика. Поэтому те­перь потенциальная энергия деформации пружины в среднем преобладает над кинетической энергией маховика.

 В случае кинематического возбуждения колебаний:

В данном выводе мы пренебрегли членом, появляющимся в выражении для амплитуды из-за трения.

В случае силового возбуждения:

 

17. Рассеиваемая мощность:

Поглощаемая мощность:

Если ω0 ≈ ω, выражение для поглощаемой мощности можно упростить: Эту зависимость средней поглощаемой мощности часто представляют в нормализованном виде F(∆ω), разделив на максимальное значение (при ∆ω = 0).:, где τ = 1/γ – характерное время осциллятора. Полученная спектральная зависимость называется лоренцевским контуром.

18. Длительность переходного процесса определяется быстротой «отмирания» собственных колебаний осциллятора, которое происходит тем быстрее, чем больше трение (то есть меньше добротность).

 Переходного процесса не будет, если константа в общем решении однородного дифференциального уравнения осциллятора равна нулю. Для этого начальный угол отклонения должен быть равен a∙sinδ, а начальная угловая скорость - a∙ω∙cosδ.

19.  Рассмотрим случай раскачки с малым трением синусоидальной внешней силой, настроенной на резонанс, тогда частное решение неоднородного дифференциального уравнения имеет вид: . Прибавим общее решение однородного уравнения: . В рассматриваем случае слабого трения, экспоненциальный сомножитель общего решения на протяжении периода практически не изменяется, поэтому при дифференцировании по времени его можно считать постоянным. . Таким образом, подставляя начальные условия находим θ=0, C = Q ψ0. Таким образом, при Q>>1 и ω = ω0 решение дифференциального уравнения осциллятора, удовлетворяющее нулевым начальным условиям имеет вид:

, где  зависимость условной амплитуды колебаний во время переходного процесса от времени.

20. Да, если начальные условия таковы, что собственные колебания скорости осциллятора находятся в противофазе с колебаниями шатуна. Тогда, в начале переходного процесса, мощность внешнего момента будет отрицательной, то есть энергия будет передаваться от осциллятора внешнему источнику, амплитуда будет уменьшаться до тех пор, пока энергия осциллятора не обратится в нуль. Далее ситуация будет аналогична раскачке из состояния покоя.

21. Рассмотрим ситуацию, когда трение отсутствует, начальное отклонение и скорость равны нулю, частота вынуждающей силы мало отличается от собственной частоты осциллятора. Тогда . Продифференцировав по времени и подставив начальные условия, получим константы: . Таким образом, осциллятор совершает почти синусоидальные колебания со средней частотой, при этом его амплитуда претерпевает колебания с малеькой частотой, равной полуразности вынуждающей частоты и собственной частоты осциллятора.

При наличии трения биения постепенно затухают, сменяясь режимом установившихся колебаний.

22. Так как в уравнение, описывающее поведение системы в явном виде входит время, механическое состояние системы определяется тремя переменными, поэтому фазовое пространство целесообразно дополнить осью времени. Наглядное представление о характере процесса можно получить, если на двумерной проекции фазовой траектории выделить точки, соответствующие равноотстоящим промежуткам времени, разделенным интервалами, соответствующими периоду внешнего воздействия. Это так называемые сечения Пуанкаре.

В установившихся вынужденных колебаниях осциллятора, период которых равен пери­оду внешнего воздействия, сечения Пуанкаре на плоскости совпадают., так как трехмерная фазовая траектория пересекает все плоскости t = Т, 2Т, ..., пТ при одних и тех же значениях угла и скорости.

23. Аналогом механического осциллятора является последовательный колебательный контур, состоящий из катушки индуктивности, конденсатора и резистора. Величиной, аналогичной углу отклонения ротора, является напряжение на конденсаторе, углу отклонения шатуна – входное напряжение, угловой скорости – ток в контуре, аналогом вязкого трения является электрическое сопротивление.

 

Задачи и вопросы

1.3 Амплитуда установившихся колебаний и их запаздывание по фазе.
Исследуем установившиеся вынужденные колебания при наличии трения. Выберем умеренное значение добротности, например, 5

а) Оценить, на сколько процентов резонансная частота в этом случае ниже собственной частоты осциллятора.

. Следовательно, резонансная частота на 3% ниже собственной

b) Чему равно отношение амплитуды маховика при резонансе к амплитуде вынуждающего шатуна?

* 

с) Чему равен сдвиг фаз (в рад. и долях периода колебаний) между колебаниями маховика и шатуна на резонансной частоте и на частоте, составляющей 0.8 резонансного значения?

На резонансной частоте:

На частоте, равной 0.8 резонансной:

Поглощаемая и рассеиваемая мощность. Лоренцевский контур.

Доказать аналитически, что при установившихся вынужденные колебаниях энергия, получаемая осциллятором от внешнего источника за период равно энергии, рассеиваемой осциллятором из-за трения за то же время. Воспользуйтесь известными выражениями для значений амплитуды и фазы установившихся колебаний.

Мощность, рассеиваемая осциллятором при установившихся вынужденных колебаниях, определяется следующим образом через работу момента силы вязкого трения: Pрасс=Nтрj'=-2Jgj'2=-2Jgw2a2cos2(wt+d). Средняя за период рассеиваемая мощность равна: (*). Поглощаемая мощность определяется работой момента внешней силы. Если считать момент инерции шатуна малым по сравнению с моментом инерции маховика, то внешний момент равен моменту деформированной пружины: Nвнеш=D(j-f)=Jw02(j-f). Мгновенное значение поглощаемой мощности равно произведению внешнего момента на угловую скорость шатуна f=wf0cos(wt).

. Полученное выражение и формула (*) совпадают.

Показать, что спектральное распределение энергии, поглощаемой осциллятором с высокой добротностью при вынужденных колебаниях, описывается лоренцевской функцией. Выразить ширину лоренцевского контура через добротность осциллятора.

В случае установившихся колебаний осциллятор поглощает и рассеивает в среднем одинаковое количество энергии. При слабом трении можно записать: w2-w02»2w0Dw, Dw=w-w0. Тогда . Представим ее в нормализованной форме, поделив на :  (16), где t=1/g - характерное время (время затухания) осциллятора. Последняя зависимость называется Лоренцевским контуром. При смещении от положения максимума в любую сторону за Dw=g поглощаемая мощность уменьшается до половины своего максимального значения. Таким образом, полуширина лоренцевского контура составляет 2g=w0/Q.

Лабораторные работы