ПРАКТИКУМ ПО МЕХАНИКЕ И МОЛЕКУЛЯРНОЙ ФИЗИКЕ

Практикум по физике Лабораторные работы по информатике Microsoft Visio Алгоритмические основы машинной графики AutoCAD
Практикум по механике и молекулярной физике
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ МАЯТНИК
Физический маятник
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ ЮНГА
ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТРУНЫ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ВЯЗКОСТИ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ПОВЕРХНОСТНОГО НАТЯЖЕНИЯ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЛАЖНОСТИ ВОЗДУХА
ОПРЕДЕЛЕНИЕ АДИАБАТИЧЕСКОЙ ПОСТОЯННОЙ ВОЗДУХА
Вынужденные колебания линейного осциллятора
Лабораторные работы по информатике
Определение параметров n-мерных коммутационных структур
Преобразование последовательного алгоритма в параллельный
Представление алгоритмов в виде граф–схем.

Построение матрицы логической несовместимости операторов

Построение множеств взаимно независимых операторов
Определение ранних и поздних сроков окончания выполнения операторов
Запуск параллельных программ на кластере
Microsoft Visio
Спецификация требований к информационной системе
Основы работы в редакторе деловой графики Microsoft Visio 2010.
Лабораторная работа №3
Лабораторная работа №4
Функциональное моделирование
Диаграмма классов
Алгоритмические основы машинной графики

Анимация и морфинг

Отсечение прямоугольным окном
Построение проекции трехмерного объекта
Создание простых объектов
Основные навыки работы с объектами
Привязка объектов
Редактирование формы произвольных кривых
Приемы работы с контурами объектов
Создание цветных изображений
Обмен изображениями с другими программами
Ввод и редактирование текста
СИСТЕМА АВТОМАТИЗИРОВАННОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ AutoCAD
Основы работы с использованием системы AutoCAD
Команды рисования
Нанесение надписей
Команды редактирования
Проставление размеров на чертеже
Работа с блоками чертежа
 

Вынужденные колебания линейного осциллятора

1. В данной работе изучается движение линейного механического осциллятора под действием синусоидальной вынуждающей силы – вынужденные колебания. Модель представляет собой торсионный осциллятор – уравновешенный инертный маховик на упругой спиральной пружине. Второй конец пружины связан с шатуном, совершающим колебания вокруг той же оси по закону f=f0sin(wt). Этот способ возбуждения называется кинематическим.

2. Установившиеся колебания.

Рассмотрим установившиеся колебания. Найдем решение в виде j(t)=a*sin(wt+d), подставив это выражение в уравнение колебаний:
-aw2sin(wt+d)+2gawsin(wt+d)+aw02sin(wt+d)=w02f0sin(wt),
a(w02-w2)sin(wt+d)+2gawsin(wt+d)=w02f0sin(wt), разделим на :

Приняв , получим  Þ , .

3. Резонанс амплитуды.

Найдем значение частоты вынуждающих колебаний, при котором амплитуда установившихся колебаний будет наибольшей (резонансную частоту): ® max Þ (w02-w2)2+4g2w2=w4+w2(4g2-2w02) ® min Þ w2=-2g2+w02 (при w0³Ö2g). Таким образом, wрез=Ö(w02-2g2),  .

4. Резонанс частоты.

Найдем резонансную частоту для скорости: ® max Þ (w02/w-w)2 ® min Þ w=w0. Таким образом, wрез(w)=w0.

пример для резонанса

5. Энергетические превращения.

При вынужденных колебаниях энергия осциллятора не остается постоянной. В течение полупериода происходит передача энергии от возбуждающего шатуна к осциллятору и обратно – от осциллятора к источнику внешнего воздействия, обеспечивающему заданное принудительное движение шатуна. Таким образом, при вынужденных колебаниях полная энергия осциллятора испытывает колебания с частотой, превышающей вдвое частоту внешнего воздействия.

Особенности энергетических превращений при кинематическом способе возбуждения связаны с тем, что вместе с шатуном перемещается положение равновесия осциллятора и вся его потенциальная яма в целом. При этом потенциальная энергия будет равна Epot=½D(j-f)2 . Кинетическая энергия осциллятора зависит от его угловой скорости: Ekin=½J(j')2 . Найдем соотношение средних за период значений потенциальной и кинетической энергии:

. С учетом подстановок:

.

Для кинетической:

Тогда, отношение средних за период потенциальной и кинетической энергий запишется в виде:

 (при малом трении, то есть g<<w0).

(на приведенных ниже графиках можно видеть различные соответствия между потенциальной и кинетической энергиями для частот выше и ниже резонансной соответственно)

6. Переходные процессы.

В случае переходных процессов в формуле j(t)=a*sin(wt+d)+C*exp(-gt)cos(w1t+q) для полного решения дифференциального уравнения вынужденных колебаний будет иметь значение второй член C*exp(-gt)cos(w1t+q). Частота w1 при слабом и умеренном трении очень близка к собственной частоте осциллятора: w1=Ö(w02-g2)»w0(1-1/(8Q2)).

Если j(0)=a.sind, j'(0)=awcosd, где a и d определяются формулами выведенными для установившихся колебаний в пункте 3, то переходный процесс отсутствует, т.е. слагаемое, отвечающее убывающим колебаниям, обнуляется.

7. Резонансная раскачка осциллятора.

Рассмотрим вынужденные колебания со следующими начальными условиями: j(0)=0, j'(0)=0, частотой вынуждающих колебаний w1»w0, и слабым трением g<<w0. Решение уравнения колебаний (см пункты 2,3)  будет выглядеть следующим образом: j(t)»w0/(2g)f0sin(w0t-p/2)+Ce-gtcos(w0t+q)=-Qf0cosw0t+ Ce-gtcos(w0t+q). При этом константы C и q определяются, исходя из начальных условий: q=0, C=Qf0. Таким образом, при Q>>1, w=w0 решение примет вид: j(t)=-Qf0(1-e-gt)cosw0t=-b(t)cosw0t, где b(t)=Qf0(1-e-gt).

Такие колебания можно рассматривать, как колебания с неизменной частотой w0 и постоянно возрастающей амплитудой b(t). На начальных стадиях раскачки, приняв gt<<1 и разложив экспоненту () в ряд до линейного члена, получим: b(t)=w0f0/(2g)(1-e-gt)»½f0w0t, т.е. амплитуда растет почти линейно. При полном отсутствии трения рост амплитуды продолжался бы неограниченно, то есть применение такой модели неправомерно – в реальной системе либо будет ощущаться влияние трения, либо перестанет действовать закон Гука (при больших амплитудах).

Видно что для первых периодов колебаний проведенная прямая практически является огибающей данной кривой.

Лабораторные работы