Примеры решения задач контрольной работы по электротехнике

Цепи постоянного тока
Определить эквивалентное сопротивление
цепи
ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА
Временная диаграмма напряжения
Резонансные явления
Цепи со взаимной индуктивностью
ТРЕХФАЗНЫЕ ЦЕПИ
ЦЕПИ С НЕСИНУСОИДАЛЬНЫМИ
ТОКАМИ
ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ
В ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ
Построить в масштабе векторную диаграмму
Катушка с активным сопротивлением
В трёхфазную четырехпроводную сеть
Однофазный понижающий трансформатор
Расчет выпрямителей переменного тока

 

ЦЕПИ С НЕСИНУСОИДАЛЬНЫМИ ТОКАМИ И НАПРЯЖЕНИЯМИ

Ряд Фурье

 (6.1)

Действующие значения периодических несинусоидальных токов, напряжений и ЭДС.

. (6.2)

Активная, реактивная и полная мощности. Коэффициент мощности.

 (6.3)

 – коэффициент мощности.

Характеристики формы периодических несинусоидальных кривых.

Коэффициент формы кривой  – отношение действующего значения F к среднему по модулю значению за период :

. (6.4)

Коэффициент амплитуды – отношение максимального значения  к действующему значению функции :

. (6.5)

Коэффициент искажения – отношение действующего значения основной гармоники к действующему значению всей функции:

. (6.6)

Коэффициент гармоник – отношение действующего значения высших гармоник к действующему значению основной гармоники:

. (6.7)


Примеры решения задач

Задача 6.1

Найти разложение напряжения  в ряд Фурье.

Решение

Кривая  (рис. 6.1) симметрична относительно оси ординат, в разложении отсутствуют синусные составляющие:

,

где ; .

Учитывая, что период повторяемости кривой  равен  и заменяя переменную  на , получаем:

;

При

.

При

.

Для  нечётных , , соответственно

.

Для k чётных , , соответственно

.

В результате

.

Задача 6.2

Найти разложение напряжения (рис. 6.2) в ряд Фурье.


Решение

Кривая симметрична относительно начала координат и относительно оси абсцисс, в разложении отсутствуют постоянная составляющая, косинусные и чётные гармоники:

.

Амплитуды гармоник

.

Таким образом,

.

Задача 6.3

Найти разложение напряжения  в ряд Фурье.

Решение

Кривая  (рис. 6.3) обладает двумя видами симметрии – относительно начала координат и относительно оси абсцисс. Соответственно в разложении отсутствуют постоянная составляющая, косинусные и чётные гармоники:

.


Амплитуды синусных составляющих

. (6.8)

Кривая

где .

Тогда интеграл в выражении (6.8)

. (6.9)

Рассмотрим каждое слагаемое в выражении (6.9):

;

;

;

;

.

Подставим полученные значения в выражение (6.1):

.

Окончательно получим

.

Задача 6.4

В цепи (рис. 6.4) протекает ток

 A.

Параметры цепи:  Ом,  Гн. Определить напряжение на входе цепи u.

Решение

Постоянная составляющая искомого напряжения

 В.

Расчёт первой гармоники

В,

B.

Входное напряжение

 B.

Задача 6.5

В цепи (рис. 6.5) напряжение на конденсаторе .

Параметры цепи:  мкФ,  кОм

Определить напряжение на входе цепи.

Решение

Постоянные составляющие:

 А,  В.

Расчёт первой гармоники:

 А,

 В,

 В.

Входное напряжение

 В.

Задача 6.6

На вход цепи (рис. 6.6) подаётся напряжение

 В.

Параметры цепи для третьей гармоники:  Ом, R=60 Ом.

Определить действующее значение тока I.

Решение

Действующее значение тока первой гармоники

 А.

Действующее значение тока третьей гармоники

 А.

Действующее значение тока

 А.

Задача 6.7

В схеме (рис. 6.7)

, Ом.

Определить показания приборов:

а) электромагнитной системы;

б) магнитоэлектрической системы.

Решение

 А,

А,

А,

А,

В.

Показания приборов магнитоэлектрической системы:

 B,  A.

Показания приборов электромагнитной системы:

 B,  A.

Задача 6.8

На вход цепи (рис. 6.8) подано напряжение .

Параметры цепи:  Ом, R=100 Ом.

Определить действующие значения токов , , , .

Решение

Постоянные составляющие токов:

 А,

.

Для первых гармоник эквивалентное комплексное сопротивление второй и третьей ветвей  (резонанс токов), а комплексное сопротивление четвертой ветви  (резонанс напряжений).

Поэтому амплитуды токов в первой и четвертой ветвях:

 А.

Амплитуда первой гармоники напряжения на зажимах

 В.

Амплитуды токов во второй и третьей ветвях:

 А,

 А.

Действующие значения токов в ветвях:

 А,

 А,

 А,

 А.

Задача 6.9

На входе двухполюсника (рис. 6.9) действуют напряжение  B и ток  А.

Определить активную, реактивную и полную мощности.


Решение

Активная мощность

 Вт.

Реактивная мощность

 Вар.

Полная мощность

 ВА.

Задача 6.10


На зажимах вторичных обмоток трансформатора (рис. 6.10а) действует симметричная система ЭДС.

Временная диаграмма ЭДС в одной из фаз показана на рис. 6.10б.

Определить показания вольтметра.

Решение

Разложение кривой  в ряд Фурье:

.

Мгновенное значение напряжения на зажимах вольтметра

. (6.10)

В выражении (6.10) сумма ЭДС всех гармоник, не кратных 3, обращается в нуль, а третья, девятая и т.д. гармоники суммируются, и напряжение на зажимах вольтметра равно утроенной сумме гармоник, кратных трем:

.

Действующее значение напряжения (ограничиваясь 15-й гармоникой)

 В.

Реактивные сопротивления и проводимости электрических цепей