Примеры решения задач контрольной работы по электротехнике

Цепи постоянного тока
Определить эквивалентное сопротивление
цепи
ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА
Временная диаграмма напряжения
Резонансные явления
Цепи со взаимной индуктивностью
ТРЕХФАЗНЫЕ ЦЕПИ
ЦЕПИ С НЕСИНУСОИДАЛЬНЫМИ
ТОКАМИ
ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ
В ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ
Построить в масштабе векторную диаграмму
Катушка с активным сопротивлением
В трёхфазную четырехпроводную сеть
Однофазный понижающий трансформатор
Расчет выпрямителей переменного тока

 

Резонансные явления

Реактивные сопротивления и проводимости электрических цепей могут быть как положительными, так и отрицательными величинами и, следовательно, могут взаимно компенсироваться. Поэтому возможны случаи, когда, несмотря на наличие в цепи индуктивных катушек и конденсаторов, входное реактивное сопротивление или входная реактивная проводимость всей цепи оказываются равными нулю. При этом ток и напряжение на входе цепи совпадают по фазе, и эквивалентное сопротивление всей цепи будет активным. Такое явление называют резонансным.

В случае последовательного соединения участков R, L, C (рис. 3.1) имеет место резонанс напряжений.


Условие резонанса напряжений:

 (3.1)

При этом значения угловой частоты, индуктивности и емкости, при которых наступает резонанс, определяются формулами:

 (3.2)

При резонансе напряжений применяются следующие соотношения и формулы:

а) характеристическое сопротивление контура

; (3.3)

б) добротность контура

; (3.4)

в) затухание контура

. (3.5)

При резонансе напряжений ток в контуре

, а . (3.6)

Расстройки:

а) абсолютная

 (3.7)

б) относительная

, (3.8)


в) обобщенная

, (3.9)

здесь .

Абсолютное и относительное значения полосы пропускания определяют по формулам:

; (3.10)

. (3.11)

Резонанс токов.

Резонанс токов для цепи с потерями энергии в обеих ветвях может иметь место в простом параллельном колебательном контуре (рис. 3.2).


Условие резонанса токов

или

. (3.12)

Угловая резонансная частота

, (3.13)

где  – характеристическое сопротивление.

Сопротивление параллельного контура при резонансе

. (3.14)

Добротность контура

. (3.15)

Ток в неразветвленной части цепи при резонансе

. (3.16)

Примеры решения задач

Задача 3.1

Цепь состоит из последовательно соединенных конденсатора без потерь и индуктивной катушки. В резонансном режиме при напряжении источника питания 90 В напряжение на конденсаторе 180 В.

Определить при резонансе напряжение на катушке и добротность контура.

Решение

При резонансе напряжение на индуктивности равно напряжению на емкости, т.е.  В, и находится в противофазе с напряжением на емкости. Поэтому напряжение на активном сопротивлении равно напряжению источника питания:  В. В рассматриваемой задаче в контуре нет резистора, и конденсатор не имеет потерь. Следовательно, под активным сопротивлением следует понимать сопротивление катушки. Напряжение на зажимах катушки

,

причем сдвиг по фазе между напряжениями  и  равен и

 В.

В режиме резонанса напряжение на емкости (индуктивности) больше напряжения питания в Q раз, где Q – добротность контура, т.е.

.

Задача 3.2

Для последовательного контура (рис. 3.3) найти наибольшее возможное значение напряжения на конденсаторе (без потерь) при изменении его емкости.

Дано:  B;  Ом;  мГн; .

Решение

Ток в последовательном RLC контуре

.

Напряжение на конденсаторе

,

или

.

Максимум напряжения на конденсаторе (или квадрата напряжения) найдем, приравнивая к нулю производную:

.

Тогда напряжение на конденсаторе достигает максимума при

 Ом.

При этом значении

 В.

Задача 3.3

Параметры схемы (рис. 3.4):  Ом, . При каких значениях L и C входное сопротивление цепи чисто активное и равно 1 Ом?

Решение

Входное сопротивление цепи

будет чисто активным при условии . Найдем мнимую часть , предварительно разделив сопротивление параллельных ветвей на вещественную и мнимую части:

.

Следовательно,  при

 (3.17)

и по условию задачи

 Ом. (3.18)

Из уравнения (3.18) находим

 (3.19)

и ёмкость  мкФ, после чего из уравнения (3.17) определяем индуктивность  мкГн.

Из выражения (3.19) видно, что входное сопротивление цепи может быть чисто активным (резонанс) только при .

Задача 3.4

В цепи (рис. 3.5)  Ом,  Ом, . Цепь находится в состоянии резонанса. Определить: емкость С, выражения для мгновенных значений токов ,  и напряжения u, мощность, потребляемую цепью.

Решение

Условие резонанса:

,

где

, .

Следовательно,

,

откуда

 мкФ.

При резонансе

; .

Положим, что

, ,

тогда

, , ,

,

,

.

Имея комплексные амплитуды , , , можно записать мгновенные значения

;

;

.

Мощность, потребляемая цепью:

 Вт.

Задача 3.5

В цепи (рис. 3.6)  мкГн, ,  пФ,  Ом. Определить резонансную частоту, резонансный ток, напряжения  и  при резонансе, характеристическое сопротивление, затухание и добротность контура, энергию магнитного и электрического полей при резонансной частоте.

Решение

Резонансная частота

с-1;

 Гц.

Резонансный ток

 А.

Напряжения на индуктивности и емкости при резонансе

 В.

Характеристическое (волновое) сопротивление

 Ом.

Затухание и добротность контура

;

.

Энергия магнитного и электрического полей при резонансе

 Дж.

Задача 3.6

В цепи (рис. 3.7)  Ом,  В,  мкФ,  мГн.

Цепь находится в состоянии резонанса.

Определить емкость конденсатора , токи , , , мощность, потребляемую цепью.

Решение

Условие резонанса для параллельного контура

.

Проводимость левой ветви

.

Проводимость правой ветви

.

Тогда проводимость цепи

Следовательно,

,

откуда

 мкФ.

Токи в ветвях:

 А,

 А,

 А.

Мощность, потребляемая цепью:

 Вт.

Задача 3.7

В цепи (рис. 3.8)  мГн,  В,  Ом,  мГн,  мкФ. Определить резонансные частоты, для каждой резонансной частоты токи в ветвях и ток в неразветвленной части цепи. Для каждой резонансной частоты показать в общем виде, что максимальные значения энергии магнитного и электрического полей равны между собой.

Решение

Резонансная частота параллельного LC-контура

, .

Резонансная частота цепи как последовательного контура определяется из уравнения , где

.

 

Следовательно,

.

Отсюда

.

Таким образом,

 с-1,

 с-1.

При частоте  параллельный контур без потерь настроен на резонанс токов. Следовательно, сопротивление параллельного контура равняется бесконечности, и поэтому ток в неразветвленной части цепи , а напряжение на параллельном контуре . Тогда

 А.

При частоте  цепь находится в состоянии резонанса напряжений и, следовательно,

 А,

а напряжение на индуктивности L' равно напряжению на параллельном участке цепи LC:

 В,

тогда

 А,

 А.

При частоте  ток в неразветвленной части цепи равен нулю, поэтому максимальные значения энергий магнитного и электрического полей определяются выражениями

,

.

Однако

, ,

поэтому

.

При частоте

; ;

.

Так как , то

.

Однако

 и ,

тогда

.

Задача 3.8

Параллельный контур с малыми потерями (рис. 3.9) настроен в резонанс токов. Параметры контура:  Ом,  пФ,  мкГн. Найти: резонансную частоту, эквивалентное сопротивление на резонансной частоте, добротность, а также величину общего тока при резонансе и для случая увеличения частоты питающего напряжения  В на .

Решение

Входное сопротивление цепи

,

где ; .

Для контура с малыми потерями можно считать, что  и , тогда

. (3.20)

При резонансе входное сопротивление должно быть чисто активным, т.е.  или

,

откуда резонансная частота

 с,

где ; .

При резонансной частоте входное сопротивление

 кОм.

Добротность контура

.

Ток в режиме резонанса

 мА.

При увеличении частоты на , т.е. при частоте

 с-1

получаем

 Ом;  Ом,

входное сопротивление по формуле (3.20)

 Ом,

и ток

 мА.

Реактивные сопротивления и проводимости электрических цепей