Математика примеры решения задач курсовой работы

ПРИМЕР 3. Вычислить .

РЕШЕНИЕ. 1. Выделим целую часть дроби, для этого делим многочлены

Получаем .

2. Разложим знаменатель дроби на множители

.

3. Поскольку правильная рациональная дробь  несократима, то для нее верно представление

,

из которого, приравнивая числители дробей обеих частей равенства (после приведения к общему знаменателю в правой части), получаем тождество

.

Неизвестные коэффициенты находим комбинированным способом. Сначала применяем способ частных значений:

при  ;

при   .

По способу сравнения коэффициентов выявляем в правой части тождества коэффициент при   (это легко сделать) и свободный член (для этого, в частности, можно положить ), приравниваем их соответственно нулю и числу 24. Решаем полученную систему
уравнений , , используя уже найденные значения неизвестных. Получим , .

4. Интегрируем простейшие дроби:

.

5. Окончательно

.

Проведенные рассуждения и рассмотренные примеры показывают, что справедлива следующая теорема.

ТЕОРЕМА 3. Неопределенный интеграл от произвольной дробно-рациональной функции всегда выражается через конечное число элементарных функций, а поэтому является элементарной функцией.


Вычислить производную функции