Фонарь-электрошокер

Гуманитарные науки

У нас студенты зарабатывают деньги

 Дипломы, работы на заказ, недорого

Дипломы, работы на заказ, недорого

 Cкачать    курсовую

Cкачать курсовую

 Контрольные работы

Контрольные работы

 Репетиторы онлайн по английскому

Репетиторы онлайн по английскому

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Математика примеры решения задач курсовой работы

Дробно-рациональная функция (рациональная дробь) определяется формулой

,

где  и  – целые числа, , , коэффициенты многочленов – действительные числа, , .

Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя  меньше степени знаменателя  () или неправильной в противном случае ().

Из неправильной рациональной дроби можно "исключить целую часть", т.е. представить неправильную рациональную дробь в виде суммы целой рациональной дроби (многочлена) и правильной
рациональной дроби, вспоминая схему:

.

Например,  и т.д.

Выделение целой части неправильной рациональной дроби производится делением многочлена  на многочлен .
Например, для  имеем

  – остаток,

отсюда .

Выделяя целую часть, мы сводим проблему интегрирования
неправильной рациональной дроби к интегрированию многочлена и правильной рациональной дроби.

Простейшими рациональными дробями называются правильные рациональные дроби следующих типов:

.

  ().

  (, т.е. квадратный трехчлен не имеет
действительных корней, а значит, не разлагается на линейные множители).

  (те же предположения),  – целое.

ТЕОРЕМА 1. Неопределенный интеграл каждой из простейших дробей вида 1 – 4 сводится к табличным интегралам (выражаются через элементарные функции).

В самом деле, имеем соответственно:

.

.

  – подробно рассмотрен ранее.

Интеграл  () заменами  и  сводится к сумме интегралов

; первый из этих интегралов вычислен ранее, ко второму – применима подстановка .

Интегрирование произвольной правильной рациональной
дроби основано на следующей теореме.

ТЕОРЕМА 2. Всякая правильная несократимая рациональная дробь может быть единственным образом представлена в виде суммы
конечного множества простейших дробей типа 1 – 4.

Разложение правильной дроби  на простейшие
дроби тесно связано с разложением знаменателя дроби  на простые действительные множители. Известно, что всякий многочлен с действительными коэффициентами разлагается (единственным образом) на множители вида  и , причем квадратичные множители не имеют действительных корней и поэтому не разложимы на линейные множители. Например, , здесь трехчлен  нельзя представить в виде произведения линейных множителей с действительными коэффициентами.

Объединяя одинаковые множители, запишем знаменатель в виде ,

причем, очевидно, .

Каждому множителю вида  соответствует сумма "" простейших дробей вида 1 и 2 , а каждому множителю вида  – сумма "" простейших дробей

вида 3 и 4  .

Поэтому разложение на простейшие дроби рассматриваемой  здесь дробно-рациональной функции  будет иметь вид (считаем ):

.


Вычислить производную функции