Математика примеры решения задач курсовой работы

Дробно-рациональная функция (рациональная дробь) определяется формулой

,

где  и  – целые числа, , , коэффициенты многочленов – действительные числа, , .

Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя  меньше степени знаменателя  () или неправильной в противном случае ().

Из неправильной рациональной дроби можно "исключить целую часть", т.е. представить неправильную рациональную дробь в виде суммы целой рациональной дроби (многочлена) и правильной
рациональной дроби, вспоминая схему:

.

Например,  и т.д.

Выделение целой части неправильной рациональной дроби производится делением многочлена  на многочлен .
Например, для  имеем

  – остаток,

отсюда .

Выделяя целую часть, мы сводим проблему интегрирования
неправильной рациональной дроби к интегрированию многочлена и правильной рациональной дроби.

Простейшими рациональными дробями называются правильные рациональные дроби следующих типов:

.

  ().

  (, т.е. квадратный трехчлен не имеет
действительных корней, а значит, не разлагается на линейные множители).

  (те же предположения),  – целое.

ТЕОРЕМА 1. Неопределенный интеграл каждой из простейших дробей вида 1 – 4 сводится к табличным интегралам (выражаются через элементарные функции).

В самом деле, имеем соответственно:

.

.

  – подробно рассмотрен ранее.

Интеграл  () заменами  и  сводится к сумме интегралов

; первый из этих интегралов вычислен ранее, ко второму – применима подстановка .

Интегрирование произвольной правильной рациональной
дроби основано на следующей теореме.

ТЕОРЕМА 2. Всякая правильная несократимая рациональная дробь может быть единственным образом представлена в виде суммы
конечного множества простейших дробей типа 1 – 4.

Разложение правильной дроби  на простейшие
дроби тесно связано с разложением знаменателя дроби  на простые действительные множители. Известно, что всякий многочлен с действительными коэффициентами разлагается (единственным образом) на множители вида  и , причем квадратичные множители не имеют действительных корней и поэтому не разложимы на линейные множители. Например, , здесь трехчлен  нельзя представить в виде произведения линейных множителей с действительными коэффициентами.

Объединяя одинаковые множители, запишем знаменатель в виде ,

причем, очевидно, .

Каждому множителю вида  соответствует сумма "" простейших дробей вида 1 и 2 , а каждому множителю вида  – сумма "" простейших дробей

вида 3 и 4  .

Поэтому разложение на простейшие дроби рассматриваемой  здесь дробно-рациональной функции  будет иметь вид (считаем ):

.


Вычислить производную функции