Математика примеры решения задач курсовой работы

Метод замены переменной (интегрирование подстановкой)

Иногда по структуре подынтегрального выражения удается догадаться не о самой подстановке , а о виде функции  – обратной для  – с тем, чтобы свести исходный интеграл к одному из табличных интегралов.

ПРИМЕР 3. Вычислить .

РЕШЕНИЕ. Полагаем , тогда  и .
Поэтому имеем

.

3. Рассмотрим интегралы от функций, содержащих квадратный трехчлен в знаменателе,  и , в случае, когда  (трехчлен не разлагается на действительные множители).

Выделим полный квадрат в трехчлене:

.

Положим , тогда , , .
Отсюда 

.

Здесь использованы табличные интегралы 2 и 12 и проведен переход к первоначальной переменной интегрирования .

Аналогично

.

Здесь использованы табличные интегралы 1 и 15 и совершен переход к переменной интегрирования .

Интеграл вида  в случае  и для тех , при которых , вычисляется аналогично: . Полагая ,  и используя формулы 1 и 14, имеем

.

Полученные общие формулы не следует запоминать, целесообразно каждый раз проводить соответствующие выкладки подробно.

ПРИМЕР 4. Вычислить .

РЕШЕНИЕ. Приводим интеграл  к виду интеграла : . Выделим полный квадрат в трехчлене знаменателя . Полагая , получим  и

.

При интегрировании интеграла вида  – произвольные
числа, целесообразна так называемая "обратная подстановка" ; она приводит интеграл  к интегралу "более простого
вида" – без множителя перед корнем в знаменателе. Покажем это на конкретном примере.

ПРИМЕР 5. Вычислить .

РЕШЕНИЕ. При , ,  имеем

.

Получим интеграл вида ; для его вычисления преобразуем
трехчлен

.

Окончательно

.

Далее указаны примеры других подстановок, упрощающих исходные интегралы.


Вычислить производную функции