Математика примеры решения задач курсовой работы

Метод замены переменной (интегрирование подстановкой)

ТЕОРЕМА. Пусть 1) функция  непрерывна на промежутке ; 2) функция  непрерывно дифференцируема на промежутке , имеет множество значений, принадлежащих промежутку , и   на . Тогда

,  (**)

где  – какая-либо первообразная для функции  на ;

   – обратная функция для функции .

В самом деле, условие  гарантирует существование
обратной функции   и ее производной . Дифференцируя по  на  сложную функцию ,  и учитывая
равенство , получим

.

Итак, функция  – первообразная для  на .

Теорема показывает, что если при вычислении интеграла  удается подобрать функцию ,  с указанными свойствами и интеграл  вычисляется, то исходный
интеграл определяется формулой (**), при этом счет проводится по алгоритму:

выбрать функцию  с непрерывной и знакопостоянной
производной так, чтобы эта функция отображала промежуток  в промежуток определения функции ; найти обратную
функцию ;

найти , ;

заменить интеграл  интегралом ;

вычислить ;

вернуться к первоначальной переменной интегрирования ,
заменяя . Получить ответ в виде .

Ниже рассмотрены некоторые часто встречающиеся интегралы и применяемые для их вычисления подстановки.

1. Тригонометрические подстановки , ,  применяются в тех случаях, когда подынтегральное
выражение содержит радикалы , ,  или их степени.

ПРИМЕР 1. Вычислить .

РЕШЕНИЕ. Положим , . Тогда , , , . Имеем

, отсюда получаем

.

ПРИМЕР 2. Вычислить .

РЕШЕНИЕ. Положим , . Тогда , , ,  и

.

Возвращаясь к первоначальной переменной  (пункт 5 алгоритма), выразим сначала  через :

.

Отсюда .


Вычислить производную функции