Математика примеры решения задач курсовой работы

Интегрирование по частям

ТЕОРЕМА. Пусть функции  и  – дифференцируемы на промежутке . Тогда на  справедлива формула

,  (*)

(аргумент функций опущен для простоты записи), называемая формулой "интегрирование по частям".

В самом деле, имеем , откуда . Интегрируя обе части равенства, получим формулу (*). Произвольная постоянная интеграла  объединяется с произвольной постоянной интеграла   и поэтому в явном виде в формуле (*) не записана.

Значение формулы (*) состоит в том, что интеграл  
иногда удается представить в виде интеграла  так, что интеграл  вычисляется "проще", чем исходный интеграл.

Эффективность метода интегрирования по частям определяется умением правильно определить, для каких интегралов применима формула (*) и как наиболее рационально расчленить подынтегральное выражение  на произведение , т.е. как выбрать функции  и , чтобы идея интегрирования по частям была осуществлена. Приведем некоторые рекомендации такого выбора.

1. Существуют функции, производные которых являются более "простыми", чем сами функции: например, они легче интегрируются. Такими являются, в частности, функции

  и т.д.

Вместе с тем существуют функции, производные которых этими свойствами не обладают, среди них такие функции, как

  и т.д.

При вычислении интеграла методом интегрирования по частям рекомендуется в формуле (*) выбирать  так, чтобы переход
от   к  "упрощал", а переход от  к  "не усложнял"
подынтегральное выражение в интеграле .

ПРИМЕР 1. Вычислить .

РЕШЕНИЕ. Выберем ,  и проведем вычисления согласно (*) (обращаем внимание на возможный вариант записи этих вычислений).

.

При отыскании  постоянную интегрирования положили равной нулю. Можно проверить, что введение произвольной постоянной  при нахождении  не изменит вида окончательного ответа.

2. Иногда для вычисления интеграла приходится применять формулу интегрирования по частям последовательно несколько раз, при этом выбор множителей   и  должен быть преемственным.

ПРИМЕР 2. Вычислить .

РЕШЕНИЕ. Применяя формулу (*) дважды, получим

.

Не всегда выбор множителей  и  в подынтегральном выражении очевиден. В этом случае приходится перебирать различные варианты, отбирая тот, при котором интеграл   проще исходного интеграла.


Вычислить производную функции