Фонарь-электрошокер

Гуманитарные науки

У нас студенты зарабатывают деньги

 Дипломы, работы на заказ, недорого

Дипломы, работы на заказ, недорого

 Cкачать    курсовую

Cкачать курсовую

 Контрольные работы

Контрольные работы

 Репетиторы онлайн по английскому

Репетиторы онлайн по английскому

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Математика примеры решения задач курсовой работы

Элементы теории множеств.

Не всякое бесконечное множество является счетным.

УТВЕРЖДЕНИЕ. Множество  не является счетным.

В самом деле, пусть ~, тогда существует отображение , устанавливающее взаимно-однозначное соответствие между элементами этих множеств, в частности:

…………

………… .

Здесь  – цифры в десятичных записях соответствующих
чисел из , причем все числа из интервала   записаны.

Построим действительное число  так, что цифра , где , , . Тогда число  
по построению, но   ни при каком , т.е. .

Полученное противоречие доказывает утверждение.

Бесконечное множество, не являющееся счетным, называется несчетным. Среди несчетных множеств выделяем те из них, которые эквивалентны (равномощны) множеству всех чисел промежутка .

Всем несчетным множествам, эквивалентным множеству , сопоставляется символ  или  – мощность "континуум".

ПРИМЕРЫ множеств мощности .

~; взаимно-однозначное соответствие устанавливает функция , .

~; здесь число  – произвольное, в частности, сколь угодно малое, положительное число; взаимно однозначное соответствие устанавливает функция , .

Поскольку множество всех действительных чисел ,
  – несчетное множество мощности ,  – счетное множество, то  есть несчетное множество мощности  и ~.

Некоторые свойства множеств мощности

Всякое бесконечное подмножество множества мощности  либо счетное, либо имеет мощность , т.е. не существует бесконечных множеств мощности, промежуточной между  и  (это утверждение имеет название "континуум – гипотезы", принимается как аксиома).

Объединение конечного или счетного множества множеств
мощности  имеет мощность .

Множество всех подмножеств счетного множества имеет
мощность . В частности, множество всех последовательностей натуральных чисел имеет мощность .

В самом деле, если взять произвольную последовательность  и сопоставить с ней число , записанное в виде дроби указанным образом, то, используя результаты теории непрерывных дробей,
получим эквивалентность множеств  и всех чисел .

Если всякий элемент множества имеет конечное или счетное множество индексов, каждый из которых принимает значения из множества мощности , то исходное множество имеет
мощность  .

Например, множество  точек плоскости  состоит из элементов , причем  и , поэтому множество всех точек плоскости  имеет мощность .

Аналогично множество точек пространства  (а также ) имеет мощность .

Множество всех непрерывных на  функций имеет мощ-
ность .

Множество всех действительно-значных функций, заданных на , имеет мощность , "большую" мощности .

Можно говорить о ШКАЛЕ МОЩНОСТЕЙ , , , … , т.е.
о возрастающей последовательности мощностей бесконечных множеств. Предполагается, что каждое последующее значение мощности есть мощность множества всех подмножеств множества предыдущей мощности (это предположение имеет название "обобщенной континуум – гипотезы").


Вычислить производную функции