Математика примеры решения задач курсовой работы

Неопределенный интеграл

Сведение исходного интеграла к табличному тесно связано с операцией подведения функции под знак дифференциала: . Функция  – какая-то первообразная для  и ее подбирают, используя формулы дифференцирования и правила дифференцирования. Например, имеем (для  из ОДЗ функций):

;

;

;

;

;

 и т.д.

ПРИМЕР 1. Подвести под дифференциал .

РЕШЕНИЕ. Последовательно проведем следующие преобразования: . Воспользуемся формулой  при  и получим окончательно . Но тогда .

Таким образом, операция подведения функции  под
дифференциал позволила вычислить интеграл.

ПРИМЕР 2. Вычислить .

РЕШЕНИЕ. Умножим и поделим подынтегральное выражение на число 3 и запишем .

Применив формулу 4 таблицы интегралов при , получим .

ПРИМЕР 3. Проверить формулу 8 в таблице интегралов непосредственным вычислением интеграла.

РЕШЕНИЕ. Так как , то, подведя под знак дифференциал , придем к формуле 2 таблицы интегралов: .

Рекомендуется аналогично проверить формулу 9.

В тех случаях, когда выбор функции , подлежащей подведению под дифференциал, не является очевидным, следует осуществить поиск такой формулы, у которой подынтегральное выражение по структуре сходно с подынтегральным выражением вычисляемого интеграла; при этом должна быть обнаруженной и упомянутая
функция .

ПРИМЕР 4. Вычислить .

РЕШЕНИЕ. Связь между функциями  и  может быть выражена в виде равенства . Поэтому интеграл  имеет смысл представить в виде   и попытаться применить формулу 1 таблицы, понимая под функцией  основание степени . "Сконструируем" дифференциал этого основания степени  в подынтегральном выражении, умножая и деля одновременно его на число . Затем применим
формулу 1. В результате получим

.


Вычислить производную функции