Математика примеры решения задач курсовой работы

Неопределенный интеграл

ПРИМЕР. Вычислить интеграл .

РЕШЕНИЕ. В силу свойства 4 имеем .

Согласно свойству 5 выполняются равенства: , .

Из ранее рассмотренных примеров имеем  и . Поэтому . Отсюда в силу свойства 3 .

 Свойство 6. Пусть  – первообразная для  на ; функция  – произвольная дифференцируемая на  функция, множество значений которой совпадает с . Тогда равенство   сохраняется, если заменить в обеих частях его переменную интегрирования  функцией

.

В самом деле, вычисляя дифференциал сложной функции , получим выражение

,

совпадающее с подынтегральным выражением интеграла, что
доказывает справедливость формулы.

Свойство 6 называют обычно свойством инвариантности формул интегрирования и используют при вычислении интегралов (замена переменной).

ПРИМЕР. Равенство  в силу свойства 6 можно записать в виде , где  (или ) – произвольная дифференцируемая функция, и использовать в качестве формулы для вычисления многих интегралов. Например, , .

Заметим, что более общая формула  ( – произвольное число, ) следует из равенства , если использовать свойство 6.

Аналогично из каждой формулы дифференцирования элементарной функции   путем ее обращения получается "интегральная" формула . Подобные формулы составляют таблицу основных интегралов, которые называются для краткости "табличными".

В практике вычисления неопределенных интегралов обычно пользуются специальными справочниками.

ТАБЛИЦА  НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

1. . 2. .

3. .

4. .  5. .

6. .  7. .

8. .  9. .

10. .

11. .

12. .  13. .

14.

15. .

Все формулы таблицы интегралов можно проверить, опираясь на определение неопределенного интеграла. Например, справедливость формулы 12 следует из равенств

.


Вычислить производную функции