Фонарь-электрошокер

Гуманитарные науки

У нас студенты зарабатывают деньги

 Дипломы, работы на заказ, недорого

Дипломы, работы на заказ, недорого

 Cкачать    курсовую

Cкачать курсовую

 Контрольные работы

Контрольные работы

 Репетиторы онлайн по английскому

Репетиторы онлайн по английскому

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Математика примеры решения задач курсовой работы

Неопределенный интеграл

Ранее рассматривалось понятие производной функции, ее геометрический смысл, свойства, правила нахождения. Во многих технических задачах требуется решение обратной задачи: отыскание функции по заданной ее производной функции. Например, задача об определении закона прямолинейного движения  материальной точки по заданной ее скорости . Решение сформулированной задачи основано на понятии первообразной функции. [an error occurred while processing this directive]

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция , определенная на промежутке ,
называется первообразной функцией (или просто первообразной) для функции  на , если в любой точке этого промежутка функция  дифференцируема и имеет производную , равную .

ПРИМЕР. Функция  является первообразной для  на , так как для любого  имеем .

Для одной и той же функции существует бесконечное множество первообразных. Например, для  первообразными на  являются также функции ,  и вообще , где  – произвольное число, поскольку  для любого .

Аналогичные рассуждения верны и для первообразной произвольной функции .

Свойства первообразных описываются легко проверяемыми теоремами.

ТЕОРЕМА 1. Если  – первообразная для функции  на , то функция , где  – произвольное число, также является первообразной для  на .

ТЕОРЕМА 2. Если  и  – произвольные первообразные для  на , то значение разности этих первообразных в каждой точке есть одно и то же число, т.е.  на , где  – некоторое число.

Теоремы 1 и 2 показывают, что если функция имеет первообразную , то множество функций , где  и , образует множество всех первообразных для функции   на .

Для   множество всех первообразных есть множество функций , .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Множество всех первообразных для функции  на промежутке  называется неопределенным интегралом
функции  на  и обозначается символом .

Выражение  называется подынтегральным выражением,  – подынтегральной функцией,  – переменной интегрирования,  – произвольной постоянной. Процедуру отыскания
неопределенного интеграла функции называют интегрированием функции (будем говорить, что "интеграл вычисляется").

Если   – какая-либо первообразная функции  на , то в силу определения неопределенного интеграла и свойств первообразных имеем , , .

Для краткости это равенство записывается обычно в виде

.

ПРИМЕР. Проверить формулу ,  или .

РЕШЕНИЕ. Используя определение абсолютной величины ,
можем записать 

На интервале  имеем , поэтому для функции  на  функция  является первообразной.

На интервале  имеем , поэтому для функции  на  первообразная имеет вид .


Вычислить производную функции