Математика примеры решения задач курсовой работы

Исследование функции и построение ее графика

ТЕОРЕМА (достаточное условие существования точки локального экстремума функции)

Пусть функция  непрерывна и дважды дифференцируема на ; для всякого   – непрерывная функция.

Тогда если 1)  и 2) , то при  точка  является точкой локального минимума функции ;

при    – точка локального максимума функции .

Доказательство. Пусть для определенности . Тогда по формуле Тейлора имеем

,

или

 ().

Поскольку порядок слагаемых в правой части равенства разный, то можно указать сколь угодно малое число , такое что в   и знак  совпадет со знаком , т.е. для рассматриваемого случая  получаем  для , . По определению это означает, что  – точка  функции .

Аналогично рассуждаем для .

ТЕОРЕМА (о достаточном условии выпуклости функции на промежутке)

Для всякой дважды дифференцируемой на  функции справедливы утверждения:

,

а также

.

Доказательство. Пусть для определенности  на . Разложим  по формуле Тейлора при  в произвольной точке , :

,

здесь  лежит между   и , т.е.  и . Тогда  для всяких значений  и  из интервала , т.е. по определению  – выпуклая вниз (сокр. ) на .

Аналогично: для  – выпуклая вверх на , если  на .

Подробно все вопросы исследования функции одной переменной рассмотрены в [6] при разборе контрольно-обучающей работы "Производная и ее приложения".


Вычислить производную функции