Фонарь-электрошокер

Гуманитарные науки

У нас студенты зарабатывают деньги

 Дипломы, работы на заказ, недорого

Дипломы, работы на заказ, недорого

 Cкачать    курсовую

Cкачать курсовую

 Контрольные работы

Контрольные работы

 Репетиторы онлайн по английскому

Репетиторы онлайн по английскому

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Математика примеры решения задач курсовой работы

Исследование функции и построение ее графика

ТЕОРЕМА (достаточное условие существования точки локального экстремума функции)

Пусть функция  непрерывна и дважды дифференцируема на ; для всякого   – непрерывная функция.

Тогда если 1)  и 2) , то при  точка  является точкой локального минимума функции ;

при    – точка локального максимума функции .

Доказательство. Пусть для определенности . Тогда по формуле Тейлора имеем

,

или

 ().

Поскольку порядок слагаемых в правой части равенства разный, то можно указать сколь угодно малое число , такое что в   и знак  совпадет со знаком , т.е. для рассматриваемого случая  получаем  для , . По определению это означает, что  – точка  функции .

Аналогично рассуждаем для .

ТЕОРЕМА (о достаточном условии выпуклости функции на промежутке)

Для всякой дважды дифференцируемой на  функции справедливы утверждения:

,

а также

.

Доказательство. Пусть для определенности  на . Разложим  по формуле Тейлора при  в произвольной точке , :

,

здесь  лежит между   и , т.е.  и . Тогда  для всяких значений  и  из интервала , т.е. по определению  – выпуклая вниз (сокр. ) на .

Аналогично: для  – выпуклая вверх на , если  на .

Подробно все вопросы исследования функции одной переменной рассмотрены в [6] при разборе контрольно-обучающей работы "Производная и ее приложения".


Вычислить производную функции