Фонарь-электрошокер

Гуманитарные науки

У нас студенты зарабатывают деньги

 Дипломы, работы на заказ, недорого

Дипломы, работы на заказ, недорого

 Cкачать    курсовую

Cкачать курсовую

 Контрольные работы

Контрольные работы

 Репетиторы онлайн по английскому

Репетиторы онлайн по английскому

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Математика примеры решения задач курсовой работы

Исследование функции и построение ее графика

ТЕОРЕМА (о необходимом и достаточном условиях существования наклонной асимптоты кривой   при  или
при )

Пусть функция  определена на . Прямая  – наклонная асимптота для  при  тогда и только тогда, когда 1)  – конечное число; 2)  – конечное число.

Доказательство. () Если  – наклонная асимптота при  ( – числа), то , т.е. . Поэтому  и .

() Из 1) и 2) имеем  и , т.е.  – наклонная асимптота при .

Аналогичные рассуждения при .

ТЕОРЕМА (о достаточном условии строгой монотонности
функции на промежутке)

;

;

аналогично для строгого убывания функции

.

Доказательство. Возьмем ,  так, чтобы  (). Тогда по теореме Лагранжа найдется   такое, что  и , что соответствует определению строгого возрастания функции на промежутке.

ТЕОРЕМА (необходимое условие существования точки локального экстремума функции)

Если функция  непрерывна в  и имеет экстремум в точке , то  или не существует .

Доказательство. Пусть  – точка локального максимума функции , , , т.е. найдется окрестность этой точки  такая, что , т.е. . Далее используем теорему Ферма.

Аналогичные рассуждения для случая  – точка локального минимума функции .

ТЕОРЕМА 1 (достаточное условие существования точки локального экстремума функции)

Если 1)   – непрерывна на  и дифференцируема в ; , кроме возможно точки ;

 2)   или не существует ;

 3) ,  меняет знак в точке  при переходе слева направо через ,

то  имеет локальный экстремум в точке .

Доказательство. Пусть для определенности  на  (имеет знак "+") и  на  (имеет знак "–"). Тогда на  , т.е. ;

на   , т.е. ,

т.е. приращение функции ,  сохраняет знак, в окрестности точки ; а это означает (по определению), что  – точка локального максимума 
функции .

Аналогичные рассуждения в случае смены знака производной  с "–" на "+" при переходе слева направо через стационарную точку  ().

Заметим, что обратное утверждение неверно, т.е. в точке  функция может иметь  (например, ), а производная  меняет знак в бесконечном множестве точек на всякой окрестности точки .

Контрпример. , .


Вычислить производную функции