Математика примеры решения задач курсовой работы

ПРИМЕР. Разложить функцию  в окрестности точки , взяв .

РЕШЕНИЕ. Воспользуемся формулой Маклорена при . Найдем производные ; ;

; отсюда , , . Получаем .

ПРИМЕР 2. Убедиться самостоятельно в правильности разложений функции в окрестности по степеням :

, где  лежит между  и 0;

,

.

ПРИМЕР 3. Оценить абсолютную погрешность приближенного
равенства   при .

РЕШЕНИЕ. ,  – между  и 0. Поэтому . Например, для  абсолютная
погрешность не превосходит числа 0,04.

ПРИМЕР 4. Вычислить приближенно , используя формулу
Тейлора при , , ; оценить погрешность.

РЕШЕНИЕ. Рассмотрим функцию  и ее представление по формуле Тейлора в

,

т.е. . Оценим погрешность . Здесь точка  расположена между  и . Поскольку функция  возрастающая, то , т.е. . Поэтому с точностью  имеем .

ПРИМЕР 5. Используя разложения функций по формуле Тейлора, вычислить пределы:

а) ;  б) .

РЕШЕНИЕ. а) ;

б) .


Вычислить производную функции