Математика примеры решения задач курсовой работы

Правило Лопиталя не является универсальным, оно применимо лишь тогда, когда существует предел отношения производных .

ПРИМЕР. Значение предела  получить по правилу Лопиталя нельзя, поскольку  – не существует (поведение  при  неопределенное). Можно провести счет, например, так: , применяя теорему о пределе произведения бесконечно малой функции на
ограниченную, в нашем случае,  при  .

ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА

ЗАДАЧА (наилучшего локального приближения)

Пусть произвольная функция с "хорошими" свойствами  рассматривается на какой-либо окрестности точки . Найти многочлен  заданной степени  так, чтобы отклонение  на  было наименьшим.

РЕШЕНИЕ. Ищем  в виде многочлена по степеням разности .

Тогда естественно потребовать выполнение соотношений

  при , т.е. ;

  при , т.е.

;

  при , т.е.

.

Аналогично  и далее .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ (многочлена Тейлора). Если для ,  существуют производные , , , то многочлен

называется многочленом Тейлора n – го порядка функции  по степеням разности .

Он единственен!

В этом случае говорят, что "функция  "порождает" свой
многочлен Тейлора в точке ".

Покажем, что именно многочлен Тейлора  функции  задает наилучшее локальное приближение этой функции. Для этого оценим погрешность приближения , т.е. оценим на  функцию .

1.   – качественная характеристика погрешности (форма Пеано).

В самом деле, рассмотрим

( применим последовательно "" раз правило Лопиталя )

,

а это означает, что ,

т.е.   – формула Тейлора ""-го порядка для функции  по степеням разности  с остаточ-ным членом в форме Пеано.

2. ,  – между  и  –количественная характеристика погрешности (форма Лагранжа).

В самом деле, преобразуем отношение

( по теореме Коши:  между  и ;  – параметр )

( по теореме Коши:  между  и ;  – параметр )

( после ""-кратного применения теоремы Коши:  между  и , т.е. между  и  )

.

Итак, если функция   раз дифференцируема в окрестности точки , причем  – непрерывная функция в этой окрестности, то

,

где   – некоторая точка между  и , т.е. функция представима
по формуле Тейлора ""-го порядка по степеням разности  с остаточным членом в форме Лагранжа.

При   формулу Тейлора называют иногда формулой Маклорена

.


Вычислить производную функции