Фонарь-электрошокер

Гуманитарные науки

У нас студенты зарабатывают деньги

 Дипломы, работы на заказ, недорого

Дипломы, работы на заказ, недорого

 Cкачать    курсовую

Cкачать курсовую

 Контрольные работы

Контрольные работы

 Репетиторы онлайн по английскому

Репетиторы онлайн по английскому

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Математика примеры решения задач курсовой работы

Правило Лопиталя не является универсальным, оно применимо лишь тогда, когда существует предел отношения производных .

ПРИМЕР. Значение предела  получить по правилу Лопиталя нельзя, поскольку  – не существует (поведение  при  неопределенное). Можно провести счет, например, так: , применяя теорему о пределе произведения бесконечно малой функции на
ограниченную, в нашем случае,  при  .

ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА

ЗАДАЧА (наилучшего локального приближения)

Пусть произвольная функция с "хорошими" свойствами  рассматривается на какой-либо окрестности точки . Найти многочлен  заданной степени  так, чтобы отклонение  на  было наименьшим.

РЕШЕНИЕ. Ищем  в виде многочлена по степеням разности .

Тогда естественно потребовать выполнение соотношений

  при , т.е. ;

  при , т.е.

;

  при , т.е.

.

Аналогично  и далее .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ (многочлена Тейлора). Если для ,  существуют производные , , , то многочлен

называется многочленом Тейлора n – го порядка функции  по степеням разности .

Он единственен!

В этом случае говорят, что "функция  "порождает" свой
многочлен Тейлора в точке ".

Покажем, что именно многочлен Тейлора  функции  задает наилучшее локальное приближение этой функции. Для этого оценим погрешность приближения , т.е. оценим на  функцию .

1.   – качественная характеристика погрешности (форма Пеано).

В самом деле, рассмотрим

( применим последовательно "" раз правило Лопиталя )

,

а это означает, что ,

т.е.   – формула Тейлора ""-го порядка для функции  по степеням разности  с остаточ-ным членом в форме Пеано.

2. ,  – между  и  –количественная характеристика погрешности (форма Лагранжа).

В самом деле, преобразуем отношение

( по теореме Коши:  между  и ;  – параметр )

( по теореме Коши:  между  и ;  – параметр )

( после ""-кратного применения теоремы Коши:  между  и , т.е. между  и  )

.

Итак, если функция   раз дифференцируема в окрестности точки , причем  – непрерывная функция в этой окрестности, то

,

где   – некоторая точка между  и , т.е. функция представима
по формуле Тейлора ""-го порядка по степеням разности  с остаточным членом в форме Лагранжа.

При   формулу Тейлора называют иногда формулой Маклорена

.


Вычислить производную функции