Фонарь-электрошокер

Гуманитарные науки

У нас студенты зарабатывают деньги

 Дипломы, работы на заказ, недорого

Дипломы, работы на заказ, недорого

 Cкачать    курсовую

Cкачать курсовую

 Контрольные работы

Контрольные работы

 Репетиторы онлайн по английскому

Репетиторы онлайн по английскому

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Математика примеры решения задач курсовой работы

Правило Лопиталя

Утверждение Если 1)  и  непрерывные и дифференцируемые на  функции;  на  ( – конечное число, или );

2) ;

,  то ,

т.е. раскрывается неопределенность вида  при  (слева); предел отношения функции заменяется пределом отношения их производных.

Доказательство. Доопределим  и . Возьмем
произвольное . Тогда на  функции  и  непрерывны, на  дифференцируемы. Применима теорема Коши: ; при  имеем  и поэтому  – существует по условию.

Замечания. 1. В рассмотренном утверждении рассмотрен случай предельного перехода в конечной точке слева. Аналогично можно рассмотреть переходы:  ;  (произвольно); , ;  при неопределенности вида .

 Для неопределенности вида  во всех случаях предельного перехода также действует правило Лопиталя.

Заметим, что правило Лопиталя применяется только к дробям.

Чтобы применить правило Лопиталя для неопределенностей
вида , , ,  и т.д., нужно предварительно выражение преобразовать к дроби.

ПРИМЕР. Вычислить пределы , .

РЕШЕНИЕ

.

.

2. Правило Лопиталя применяется только для раскрытия неопределенностей.

ПРИМЕР.  – здесь нет неопределенности, правило Лопиталя не применимо; в точке  функция непрерывная и предел ее при  равен значению функции в предельной точке.

3. При применении правила Лопиталя дифференцируется
числитель и знаменатель дроби отдельно.

4. Иногда правило Лопиталя применяется несколько раз.

ПРИМЕР. Вычислить .

РЕШЕНИЕ. Значение предела

  позволяет сравнить бесконечно большие при  функции: показательная функция  – бесконечно большая функция большего порядка по сравнению со степенной функцией  – бесконечно большой при .


Вычислить производную функции