Математика примеры решения задач курсовой работы

Правило Лопиталя

Утверждение Если 1)  и  непрерывные и дифференцируемые на  функции;  на  ( – конечное число, или );

2) ;

,  то ,

т.е. раскрывается неопределенность вида  при  (слева); предел отношения функции заменяется пределом отношения их производных.

Доказательство. Доопределим  и . Возьмем
произвольное . Тогда на  функции  и  непрерывны, на  дифференцируемы. Применима теорема Коши: ; при  имеем  и поэтому  – существует по условию.

Замечания. 1. В рассмотренном утверждении рассмотрен случай предельного перехода в конечной точке слева. Аналогично можно рассмотреть переходы:  ;  (произвольно); , ;  при неопределенности вида .

 Для неопределенности вида  во всех случаях предельного перехода также действует правило Лопиталя.

Заметим, что правило Лопиталя применяется только к дробям.

Чтобы применить правило Лопиталя для неопределенностей
вида , , ,  и т.д., нужно предварительно выражение преобразовать к дроби.

ПРИМЕР. Вычислить пределы , .

РЕШЕНИЕ

.

.

2. Правило Лопиталя применяется только для раскрытия неопределенностей.

ПРИМЕР.  – здесь нет неопределенности, правило Лопиталя не применимо; в точке  функция непрерывная и предел ее при  равен значению функции в предельной точке.

3. При применении правила Лопиталя дифференцируется
числитель и знаменатель дроби отдельно.

4. Иногда правило Лопиталя применяется несколько раз.

ПРИМЕР. Вычислить .

РЕШЕНИЕ. Значение предела

  позволяет сравнить бесконечно большие при  функции: показательная функция  – бесконечно большая функция большего порядка по сравнению со степенной функцией  – бесконечно большой при .


Вычислить производную функции