Математика примеры решения задач курсовой работы

Элементы теории множеств.

ПРИМЕР. Множество всех четных чисел  эквивалентно множеству . В самом деле, отображение (правило)  устанавливает взаимно-однозначное соответствие между множествами  и .

ПРИМЕР. Множество всех целых чисел

эквивалентно множеству ; порядок "перенумерования" элементов множества  виден из схемы, т.е. взаимно-однозначное соответствие устанавливается равенствами:

   … ; ; ….

Некоторые свойства счетных множеств:

Из всякого бесконечного множества можно выделить счетное подмножество. Например, .

Произвольное непустое подмножество счетного множества либо конечное, либо счетное. Например, множество  и множества  и .

Если из произвольного счетного множества удалить (или к счетному множеству присоединить) произвольное конечное множество, то полученное множество вновь счетное. Например, множество  – счетное.

Объединение счетного множества конечных множеств есть
конечное или счетное множество. Например, .

Объединение конечного множества счетных множеств есть счетное множество. Например, пусть ,  – счетные множества. Запишем их элементы в виде таблицы

и укажем порядок "перенумерования" элементов множества  стрелками, т.е.

~,

а поэтому  – счетное.

Объединение счетного множества счетных множеств есть
множество счетное.

Если записать элементы множества , где каждое  – счетное множество в виде таблицы ,

и указать способ "перенумерования" элементов по диагоналям (см. схему), то ~.

ПРИМЕР. Покажем, что множество  – счетное.

Рассмотрим множество положительных рациональных чисел . Элементы множества  можно расположить в виде бесконечной прямоугольной таблицы
с двумя выходами вниз и вправо. В первой строке запишем все обыкновенные дроби вида , где ; во второй строке – дроби вида , где  и т.д. Взаимно однозначное соответствие множеств  и  установим, если снова "перенумеруем" все элементы множества  по конечным диагоналям таблицы, двигаясь слева направо и сверху вниз.

Множество отрицательных рациональных чисел  эквивалентно множеству  (по симметрии). Поэтому  счетное как объединение двух счетных и конечного множеств.

Множеству всех счетных множеств сопоставляется символ  (читается "алеф – ноль") – мощность.


Вычислить производную функции