Фонарь-электрошокер

Гуманитарные науки

У нас студенты зарабатывают деньги

 Дипломы, работы на заказ, недорого

Дипломы, работы на заказ, недорого

 Cкачать    курсовую

Cкачать курсовую

 Контрольные работы

Контрольные работы

 Репетиторы онлайн по английскому

Репетиторы онлайн по английскому

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Математика примеры решения задач курсовой работы

Теорема Ферма

 – дифференцируема при всяком  из , кроме возможно , ,

  или ,

то   или  не существует.

Обратное утверждение не верно.

Контрпримеры: а) , но функция  – строго возрастающая на  функция; в точке  не достигает ни наибольшего ни наименьшего значений.

б)  – строго возрастающая на   функция;  и при  не существует; в точке  не достигает ни наибольшего ни наименьшего значений.

ИЛЛЮСТРАТИВНЫЙ ПРИМЕР приведем, используя геометрическое задание функции; на рисунке  удовлетворяет условиям теоремы, причем  и  и .

Примеры на существенность условий теоремы рекомендуем провести самостоятельно.

Доказательство. Рассмотрим дифференцируемую в точке  функцию, т.е. для  существует , причем  (произвольно!) Для определенности предположим, что . Тогда для  имеем ; для  имеем . Переходя к пределу при произвольном стремлении , получаем одновременно  и , что возможно лишь при .

ТЕОРЕМА КОШИ (об отношении приращений двух функций)

Если 1)  и   непрерывны на сегменте ;

2)   и  дифференцируемы внутри сегмента, т.е. на интервале ,

то существует точка  такая, что выполняется соотношение

.

Замечание. Пусть , . Тогда теорема устанавливает существование точки , , такой, что  или , т.е. отношение приращений двух функций в одной и той же точке совпадает с
отношением производных этих функций в некоторой промежуточной точке.

Доказательство. Рассмотрим функцию

;

ее свойства:

 – непрерывна на ; по теореме Вейерштрасса множество ее значений на  – ограниченное множество;

  – дифференцируемая на  функция; по теореме II Вейерштрасса значения  и  достигаются в точках сегмента .

Поскольку , то хотя бы одно из этих значений достигается внутри сегмента. По теореме Ферма найдется точка , в которой .

Итак, указали  так, что .


Вычислить производную функции