Математика примеры решения задач курсовой работы

Теорема Ферма

 – дифференцируема при всяком  из , кроме возможно , ,

  или ,

то   или  не существует.

Обратное утверждение не верно.

Контрпримеры: а) , но функция  – строго возрастающая на  функция; в точке  не достигает ни наибольшего ни наименьшего значений.

б)  – строго возрастающая на   функция;  и при  не существует; в точке  не достигает ни наибольшего ни наименьшего значений.

ИЛЛЮСТРАТИВНЫЙ ПРИМЕР приведем, используя геометрическое задание функции; на рисунке  удовлетворяет условиям теоремы, причем  и  и .

Примеры на существенность условий теоремы рекомендуем провести самостоятельно.

Доказательство. Рассмотрим дифференцируемую в точке  функцию, т.е. для  существует , причем  (произвольно!) Для определенности предположим, что . Тогда для  имеем ; для  имеем . Переходя к пределу при произвольном стремлении , получаем одновременно  и , что возможно лишь при .

ТЕОРЕМА КОШИ (об отношении приращений двух функций)

Если 1)  и   непрерывны на сегменте ;

2)   и  дифференцируемы внутри сегмента, т.е. на интервале ,

то существует точка  такая, что выполняется соотношение

.

Замечание. Пусть , . Тогда теорема устанавливает существование точки , , такой, что  или , т.е. отношение приращений двух функций в одной и той же точке совпадает с
отношением производных этих функций в некоторой промежуточной точке.

Доказательство. Рассмотрим функцию

;

ее свойства:

 – непрерывна на ; по теореме Вейерштрасса множество ее значений на  – ограниченное множество;

  – дифференцируемая на  функция; по теореме II Вейерштрасса значения  и  достигаются в точках сегмента .

Поскольку , то хотя бы одно из этих значений достигается внутри сегмента. По теореме Ферма найдется точка , в которой .

Итак, указали  так, что .


Вычислить производную функции