Математика примеры решения задач курсовой работы

ПРИМЕР. Вычислить производную функции  на ОДЗ.

РЕШЕНИЕ. Можно дифференцировать последовательно: сначала логарифмированную функцию, затем по формулам производной дроби и произведения. На проще сначала выражение прологарифмировать, а затем уже дифференцировать. Получим

  и т.д.

Тригонометрические и обратные тригонометрические функции

,  – любое.

; здесь используются свойства непрерывности функции  на , первый замечательный предел и теорема о пределе произведения. Итак, получим ,  – любое; формальная запись

.

Для ,  обратная функция  и тождество , . Отсюда имеем  или , знак выбираем, исходя из характера монотонности обратной функции. Итак, .

Для сложной функции  в сокращенной записи
имеем формулу

.

,  – любое. [an error occurred while processing this directive]

Поскольку , то  . Итак, имеем , а также

.

Для функций  и , , справедливо тождество

.

Поэтому .

Для сложной функции запишем

.

, .

, т.е.  и

.

Для ,  – любое, , обратная функция , поэтому имеем .

Итак,   и

.

.

,

т.е.  и

.

Дифференцируя тождество ,  – любое,
получаем , записываем

.


Вычислить производную функции