Фонарь-электрошокер

Гуманитарные науки

У нас студенты зарабатывают деньги

 Дипломы, работы на заказ, недорого

Дипломы, работы на заказ, недорого

 Cкачать    курсовую

Cкачать курсовую

 Контрольные работы

Контрольные работы

 Репетиторы онлайн по английскому

Репетиторы онлайн по английскому

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Математика примеры решения задач курсовой работы

Производная обратной функции

Понятие ОБРАТИМОСТИ функции относится к свойствам функции на множестве (глобальное свойство).

Будем рассматривать функцию , ; здесь  – область задания функции:  – множество значений функции.

Функция  называется обратимой на , если она принимает каждое своё значение только один раз; символически это определение запишется

(символ означает "существует единственное значение"),

т.е. на множестве определена функция , , такая, что выполнены тождества

 на   и на .

При этом функцию называют обычно обратной функцией для .

Заметим, что графики функций и на плоскости Oxy СОВПАДАЮТ.

Подпись:  ПРИМЕР. Для функции найти обратную функцию; рассмотреть графики прямой и обратной функций.

РЕШЕНИЕ. Обозначим , ; из этого уравнения находим ; видим при этом, что для всякого  существует единственное значение , т.е. – обратная функция. Графики функций и совпадают; это прямая . Заметим, что имеем тождества и на .

Для обратной функции проводим переобозначение
переменных:  заменяем на ,  заменяем на , получаем – функцию, у которой независимая переменная изображается на оси , а значение функции – на оси .

В нашем примере переобозначение переменных приводит к функции , её график симметричен графику исходной функции относительно прямой (см. рисунок).

Итак, для нахождения обратной функции для , следует решить (если возможно) уравнение   относительно , , а затем переобозначить переменные.

Функции и называются взаимно-обратными, их графики симметричны относительно прямой .

Достаточное условие существования обратной функции:

если 1)  – непрерывна на промежутке ;

2)   – строго возрастает (или строго убывает) на промежутке ,

то на соответствующем промежутке значений функции  существует однозначная обратная функция , , , также непрерывная на  и строго монотонная на  (с сохранением характера монотонности).

Доказательство этого утверждения приведено подробно, например, в [2].

Замечаем, что в условиях утверждения свойства "прямой" (исходной) функции переносятся на обратную функцию.

Дифференцируемость обратной функции:

если 1) функция  обратима в некоторой окрестности
точки , ; , ;

 2) функция  дифференцируема в точке , т.е. существует ,

то для обратной функции  существует производная  и выполняется равенство  или .

В самом деле, рассмотрим отношение  при  – произ-вольном, , ; получаем

.

Поскольку  – непрерывна в точке  (следует из ее дифференцируемости в точке ), то и обратная функция  – непрерывна в соответствующей точке , т.е.  и  одновременно. И тогда существование предела  определяет существование предела , причем  (по теореме о переходе к пределу в равенстве).

Формула дифференцирования обратной функции

предполагает выполнимость условий рассмотренной теоремы в
точке , а также равенства: ; ; ,  на ;  на .


Вычислить производную функции