Математика примеры решения задач курсовой работы

Правила дифференцирования

Производная постоянной равна нулю.

.

В самом деле, пусть , . Тогда для любой точки  . Поэтому   и , т.е. .

Производная суммы, произведения и частного дифференцированных функций.

,  – фиксированная точка;

 

 .

Заметим сразу, что обратные утверждения не верны, т.е.,
например, из существования производной суммы двух функций не следует существование производных слагаемых.

Контрпример. Пусть . Тогда  – существует для любого . Но можно взять  и  и тогда слагаемые функции – не дифференцируемые на , поскольку при  их производные не существуют.

Доказательство. 1. Пусть. Тогда

.

Применяем теорему о пределе суммы, получаем

,

т.е. производная суммы двух дифференцируемых функций существует и равна сумме производных слагаемых функций.

Впредь формулы для простоты будем записывать, опуская
аргумент, т.е. в виде .

Утверждение может быть обобщено на любое конечное множество слагаемых дифференцируемых функций.

2. Аналогично для  имеем

.

Поэтому 

. Здесь применяем теорему о пределе суммы и произведения функций, а также теорему о непрерывности дифференцируемой функции. Итак,

.

Частные случаи: ;

, здесь  – третья дифференцируемая в точке  функция.

3. Для   на , рассуждения проводятся аналогично. Рекомендуем провести их самостоятельно.

Частные случаи: .

Дифференцируемость сложной функции.

Если  1)  – дифференцируемая в точке  функция для  ; 2)  – дифференци-руемая в точке  функция, то сложная функция  – дифференцируемая функция в точке , причем

  при .

Доказательство. Используя дифференцируемость компонент, покажем дифференцируемость сложной функции через существование ее производной в точке. Пусть  – фиксированная точка, ,  – произвольное приращение независимого переменного , . Тогда

;

  (считаем ). Тогда существует . Здесь используется теорема о пределе произведения функций, а также свойство непрерывности дифференцируемой функции: .

Итак, производная сложной функции  в точке  существует и по теореме о необходимом и достаточном условии дифференцируемости  дифференцируема в точке , причем

.


Вычислить производную функции