Фонарь-электрошокер

Гуманитарные науки

У нас студенты зарабатывают деньги

 Дипломы, работы на заказ, недорого

Дипломы, работы на заказ, недорого

 Cкачать    курсовую

Cкачать курсовую

 Контрольные работы

Контрольные работы

 Репетиторы онлайн по английскому

Репетиторы онлайн по английскому

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Математика примеры решения задач курсовой работы

Правила дифференцирования

Производная постоянной равна нулю.

.

В самом деле, пусть , . Тогда для любой точки  . Поэтому   и , т.е. .

Производная суммы, произведения и частного дифференцированных функций.

,  – фиксированная точка;

 

 .

Заметим сразу, что обратные утверждения не верны, т.е.,
например, из существования производной суммы двух функций не следует существование производных слагаемых.

Контрпример. Пусть . Тогда  – существует для любого . Но можно взять  и  и тогда слагаемые функции – не дифференцируемые на , поскольку при  их производные не существуют.

Доказательство. 1. Пусть. Тогда

.

Применяем теорему о пределе суммы, получаем

,

т.е. производная суммы двух дифференцируемых функций существует и равна сумме производных слагаемых функций.

Впредь формулы для простоты будем записывать, опуская
аргумент, т.е. в виде .

Утверждение может быть обобщено на любое конечное множество слагаемых дифференцируемых функций.

2. Аналогично для  имеем

.

Поэтому 

. Здесь применяем теорему о пределе суммы и произведения функций, а также теорему о непрерывности дифференцируемой функции. Итак,

.

Частные случаи: ;

, здесь  – третья дифференцируемая в точке  функция.

3. Для   на , рассуждения проводятся аналогично. Рекомендуем провести их самостоятельно.

Частные случаи: .

Дифференцируемость сложной функции.

Если  1)  – дифференцируемая в точке  функция для  ; 2)  – дифференци-руемая в точке  функция, то сложная функция  – дифференцируемая функция в точке , причем

  при .

Доказательство. Используя дифференцируемость компонент, покажем дифференцируемость сложной функции через существование ее производной в точке. Пусть  – фиксированная точка, ,  – произвольное приращение независимого переменного , . Тогда

;

  (считаем ). Тогда существует . Здесь используется теорема о пределе произведения функций, а также свойство непрерывности дифференцируемой функции: .

Итак, производная сложной функции  в точке  существует и по теореме о необходимом и достаточном условии дифференцируемости  дифференцируема в точке , причем

.


Вычислить производную функции