Математика примеры решения задач курсовой работы

Производная функции в точке

ПРИМЕР. Показать по определению дифференцируемость функции  в произвольной точке .

РЕШЕНИЕ. Пусть  – произвольное. Тогда

,

т.е.  – дифференцируемая в точке .

ТЕОРЕМА (о необходимом и достаточном условии дифференцируемости функции в точке)

;

( – дифференцируемая в точке  

 .

Доказательство. () По определению дифференцируемости функции в точке имеем ; отсюда
при   получаем . Поскольку , то, применив теорему о пределе суммы, устанавливаем существование .

Итак, для дифференцируемой в точке  функции ее приращение представимо в виде

.

() Если существует , то существует , т.е.  – бесконечно малая функция при . Отсюда  и здесь ,  при , т.е. .

Полученное представление для  доказывает дифференцируемость функции по определению.

Замечание. Выражение  называется ДИФФЕРЕНЦИАЛОМ (первого порядка) функции   в точке  соответственно  
и обозначается 

  или .

Для дифференцируемой в точке  функции справедливо
приближенное равенство , где  – погрешность приближения  или

.

Оно может использоваться для приближенного вычисления значения функции   в точке , расположенной "достаточно близко" к 
точке .

ПРИМЕР. Вычислить приближенно .

РЕШЕНИЕ. Рассмотрим . Тогда . Итак,  с погрешностью .

Геометрическая иллюстрация приближенного равенства: для , "близких" к , график функции  может быть приближенно заменен отрезком касательной , тем самым решается задача локальной ЛИНЕАРИЗАЦИИ функций.

ТЕОРЕМА (о связи понятий)

;

( – дифференцируемая в точке

  ( – непрерывна в точке ).

Доказательство рекомендуем провести самостоятельно.

Контрпример. .

Функция   всюду непрерывная, т.е. при  непрерывна. Рассмотрим  и при  
предел этого отношения не существует, т.е. при  функция  не дифференцируема.

Процесс вычисления производной функции называют дифференцированием функции.

Техника дифференцирования отрабатывается на основе правил дифференцирования и формул производных конкретных функций. Обозначения производной функции   : ; . Если  – произвольная точка интервала , то  – функция аргумента , .


Вычислить производную функции