Фонарь-электрошокер

Гуманитарные науки

У нас студенты зарабатывают деньги

 Дипломы, работы на заказ, недорого

Дипломы, работы на заказ, недорого

 Cкачать    курсовую

Cкачать курсовую

 Контрольные работы

Контрольные работы

 Репетиторы онлайн по английскому

Репетиторы онлайн по английскому

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Математика примеры решения задач курсовой работы

Производная функции в точке

ПРИМЕР. Показать по определению дифференцируемость функции  в произвольной точке .

РЕШЕНИЕ. Пусть  – произвольное. Тогда

,

т.е.  – дифференцируемая в точке .

ТЕОРЕМА (о необходимом и достаточном условии дифференцируемости функции в точке)

;

( – дифференцируемая в точке  

 .

Доказательство. () По определению дифференцируемости функции в точке имеем ; отсюда
при   получаем . Поскольку , то, применив теорему о пределе суммы, устанавливаем существование .

Итак, для дифференцируемой в точке  функции ее приращение представимо в виде

.

() Если существует , то существует , т.е.  – бесконечно малая функция при . Отсюда  и здесь ,  при , т.е. .

Полученное представление для  доказывает дифференцируемость функции по определению.

Замечание. Выражение  называется ДИФФЕРЕНЦИАЛОМ (первого порядка) функции   в точке  соответственно  
и обозначается 

  или .

Для дифференцируемой в точке  функции справедливо
приближенное равенство , где  – погрешность приближения  или

.

Оно может использоваться для приближенного вычисления значения функции   в точке , расположенной "достаточно близко" к 
точке .

ПРИМЕР. Вычислить приближенно .

РЕШЕНИЕ. Рассмотрим . Тогда . Итак,  с погрешностью .

Геометрическая иллюстрация приближенного равенства: для , "близких" к , график функции  может быть приближенно заменен отрезком касательной , тем самым решается задача локальной ЛИНЕАРИЗАЦИИ функций.

ТЕОРЕМА (о связи понятий)

;

( – дифференцируемая в точке

  ( – непрерывна в точке ).

Доказательство рекомендуем провести самостоятельно.

Контрпример. .

Функция   всюду непрерывная, т.е. при  непрерывна. Рассмотрим  и при  
предел этого отношения не существует, т.е. при  функция  не дифференцируема.

Процесс вычисления производной функции называют дифференцированием функции.

Техника дифференцирования отрабатывается на основе правил дифференцирования и формул производных конкретных функций. Обозначения производной функции   : ; . Если  – произвольная точка интервала , то  – функция аргумента , .


Вычислить производную функции