Фонарь-электрошокер

Гуманитарные науки

У нас студенты зарабатывают деньги

 Дипломы, работы на заказ, недорого

Дипломы, работы на заказ, недорого

 Cкачать    курсовую

Cкачать курсовую

 Контрольные работы

Контрольные работы

 Репетиторы онлайн по английскому

Репетиторы онлайн по английскому

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Математика примеры решения задач курсовой работы

Производная функции в точке

Напомним понятие  и его геометрический смысл, рассмотренные в школьной программе по математике.

Пусть функция ; ее график схематично представлен на рисунке.

Зададим произволь-ное , рассмотрим . Абсциссам  и  соответствуют точки  и  на графике;  – геометрически – длина отрезка  с соответствующим знаком. Отношение  в  определяет , где  – угол наклона секущей . При  точка  по кривой  стремится к точке , секущая  поворачивается и стремится к своему предельному положению – касательной , при этом угол   стремится к углу  – углу наклона касательной  и  переходит в  – угловой коэффициент касательной .

Именно поэтому , если он существует, обозначается через  и это число можно понимать как угловой коэффициент касательной прямой, проходящей через точку ,

к графику ; уравнение этой касательной имеет вид

.

Заметим, что  может быть любого знака, т.е. точка  может быть расположена на  и слева и справа по отношению к
точке . Число  – единственное, если предел существует и конечен. Поэтому касательная к  в точке  в этом случае ЕДИНСТВЕННАЯ (и она является
наклонной  или горизонтальной прямой).

Наличие единственной вертикальной касательной к графику функции  в точке  не определяет существование производной функции  в соответствующей точке , поскольку угол наклона такой касательной  и  не существует (будем записывать ).

Если в точке  существуют РАЗЛИЧНЫЕ касательные (слева и справа), то это означает, что  НЕ СУЩЕСТВУЕТ.

ПРИМЕР. Для  при    и в точке  касательная единственная, ее уравнение ; при  производная функции не существует, так как в точке   к графику функции можно провести ДВЕ касательные: слева  и справа . Аналогично  не существует.

 

ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. ;

( – дифференцируемая в точке  

 ,

т.е. приращение функции в точке  представимо в виде суммы
линейной функции от   (главная часть приращения функции) и некоторой функции бесконечно малой при  большего порядка по сравнению с .


Вычислить производную функции