Математика примеры решения задач курсовой работы

Производная функции в точке

Напомним понятие  и его геометрический смысл, рассмотренные в школьной программе по математике.

Пусть функция ; ее график схематично представлен на рисунке.

Зададим произволь-ное , рассмотрим . Абсциссам  и  соответствуют точки  и  на графике;  – геометрически – длина отрезка  с соответствующим знаком. Отношение  в  определяет , где  – угол наклона секущей . При  точка  по кривой  стремится к точке , секущая  поворачивается и стремится к своему предельному положению – касательной , при этом угол   стремится к углу  – углу наклона касательной  и  переходит в  – угловой коэффициент касательной .

Именно поэтому , если он существует, обозначается через  и это число можно понимать как угловой коэффициент касательной прямой, проходящей через точку ,

к графику ; уравнение этой касательной имеет вид

.

Заметим, что  может быть любого знака, т.е. точка  может быть расположена на  и слева и справа по отношению к
точке . Число  – единственное, если предел существует и конечен. Поэтому касательная к  в точке  в этом случае ЕДИНСТВЕННАЯ (и она является
наклонной  или горизонтальной прямой).

Наличие единственной вертикальной касательной к графику функции  в точке  не определяет существование производной функции  в соответствующей точке , поскольку угол наклона такой касательной  и  не существует (будем записывать ).

Если в точке  существуют РАЗЛИЧНЫЕ касательные (слева и справа), то это означает, что  НЕ СУЩЕСТВУЕТ.

ПРИМЕР. Для  при    и в точке  касательная единственная, ее уравнение ; при  производная функции не существует, так как в точке   к графику функции можно провести ДВЕ касательные: слева  и справа . Аналогично  не существует.

 

ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. ;

( – дифференцируемая в точке  

 ,

т.е. приращение функции в точке  представимо в виде суммы
линейной функции от   (главная часть приращения функции) и некоторой функции бесконечно малой при  большего порядка по сравнению с .


Вычислить производную функции