Математика примеры решения задач курсовой работы

Теорема Вейерштрасса

Наибольшее и наименьшее значения функции, непрерывной на сегменте, достигаются в некоторых точках этого сегмента, т.е. .

ИЛЛЮСТРАТИВНЫЙ ПРИМЕР

Контрпример.

Здесь

,

 ,

но , т.е.   не является функцией, непрерывной на .

ПРИМЕРЫ на существенность условий теоремы рекомендуем построить самостоятельно.

Доказательство. По теореме 1 множество  – ограниченное, поэтому имеет грани. Пусть

.

Пусть , . Тогда выделяется последовательность значений аргументов  на , для которой  при любом .

Из ограниченной последовательности  выделяем сходящуюся подпоследовательность , т.е. .

Поскольку для каждого   и  
при , то по теореме о пределе промежуточной функции имеем .

Аналогично доказывается , .

Теорема устанавливает ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ существования абсолютного (глобального) экстремума на   для непрерывной функции , .

ЛЕММА (о нуле непрерывной функции)

Если 1) ; 2) , то .

Доказательство. Для определенности пусть  и .

Рассмотрим точку . Если

, то  и доказательство закончено, так как . Если , то число  имеет определенный знак, пусть . Выберем тот "половинный" сегмент, на концах которого функция имеет значения противоположного знака. В нашем случае (см. рисунок) это сегмент , для него имеем , .

Рассмотрим . Если , то .

Если ,  то выберем сегмент  так, чтобы

,  и длина  была равна половине длины предыдущего сегмента, т.е. .

Процесс продолжим либо до тех пор, пока  не обратится в ноль, либо при .

Получим последовательность сегментов , вложенных и стягивающихся по длине к нулю, для которых (у нас)  и . По принципу Кантора,  . Воспользуемся теоремой о переходе к пределу
в неравенстве и непрерывностью  на , т.е., в частности,
в точке . Получим .

Замечание. Лемма определяет ДОСТАТОЧНОЕ условие существования корня уравнения . Если установлено заранее, что на   корень единственный, то изложенная в доказательстве процедура построения последовательности сегментов , содержащих корень , составляет суть приближенного метода "половинного деления" решения нелинейного уравнения.

Обратное утверждение неверно.

Контрпример и примеры на существенность условий леммы рекомендуем привести самостоятельно.

ТЕОРЕМА КОШИ (о промежуточном значении)

Если 1) ; 2) , то для любого числа , расположенного между числами  и , найдется значение
аргумента , такое, что .

Доказательство. Функция  удовлетворяет условиям ЛЕММЫ о нуле непрерывной функции, и поэтому существует , такое, что , итак, .

Теорема доказана.

Замечание. Для функции , непрерывной на , существует  (или ) , на концах которого функция достигает своих наименьшего и наибольшего значений  и . По теореме Коши всякое промежуточное между  и  число является значением  в некоторой точке сегмента , а значит, и , т.е. непрерывная функция  отображает сегмент  в сегмент .


Вычислить производную функции