Фонарь-электрошокер

Гуманитарные науки

У нас студенты зарабатывают деньги

 Дипломы, работы на заказ, недорого

Дипломы, работы на заказ, недорого

 Cкачать    курсовую

Cкачать курсовую

 Контрольные работы

Контрольные работы

 Репетиторы онлайн по английскому

Репетиторы онлайн по английскому

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Математика примеры решения задач курсовой работы

Теорема Вейерштрасса

Наибольшее и наименьшее значения функции, непрерывной на сегменте, достигаются в некоторых точках этого сегмента, т.е. .

ИЛЛЮСТРАТИВНЫЙ ПРИМЕР

Контрпример.

Здесь

,

 ,

но , т.е.   не является функцией, непрерывной на .

ПРИМЕРЫ на существенность условий теоремы рекомендуем построить самостоятельно.

Доказательство. По теореме 1 множество  – ограниченное, поэтому имеет грани. Пусть

.

Пусть , . Тогда выделяется последовательность значений аргументов  на , для которой  при любом .

Из ограниченной последовательности  выделяем сходящуюся подпоследовательность , т.е. .

Поскольку для каждого   и  
при , то по теореме о пределе промежуточной функции имеем .

Аналогично доказывается , .

Теорема устанавливает ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ существования абсолютного (глобального) экстремума на   для непрерывной функции , .

ЛЕММА (о нуле непрерывной функции)

Если 1) ; 2) , то .

Доказательство. Для определенности пусть  и .

Рассмотрим точку . Если

, то  и доказательство закончено, так как . Если , то число  имеет определенный знак, пусть . Выберем тот "половинный" сегмент, на концах которого функция имеет значения противоположного знака. В нашем случае (см. рисунок) это сегмент , для него имеем , .

Рассмотрим . Если , то .

Если ,  то выберем сегмент  так, чтобы

,  и длина  была равна половине длины предыдущего сегмента, т.е. .

Процесс продолжим либо до тех пор, пока  не обратится в ноль, либо при .

Получим последовательность сегментов , вложенных и стягивающихся по длине к нулю, для которых (у нас)  и . По принципу Кантора,  . Воспользуемся теоремой о переходе к пределу
в неравенстве и непрерывностью  на , т.е., в частности,
в точке . Получим .

Замечание. Лемма определяет ДОСТАТОЧНОЕ условие существования корня уравнения . Если установлено заранее, что на   корень единственный, то изложенная в доказательстве процедура построения последовательности сегментов , содержащих корень , составляет суть приближенного метода "половинного деления" решения нелинейного уравнения.

Обратное утверждение неверно.

Контрпример и примеры на существенность условий леммы рекомендуем привести самостоятельно.

ТЕОРЕМА КОШИ (о промежуточном значении)

Если 1) ; 2) , то для любого числа , расположенного между числами  и , найдется значение
аргумента , такое, что .

Доказательство. Функция  удовлетворяет условиям ЛЕММЫ о нуле непрерывной функции, и поэтому существует , такое, что , итак, .

Теорема доказана.

Замечание. Для функции , непрерывной на , существует  (или ) , на концах которого функция достигает своих наименьшего и наибольшего значений  и . По теореме Коши всякое промежуточное между  и  число является значением  в некоторой точке сегмента , а значит, и , т.е. непрерывная функция  отображает сегмент  в сегмент .


Вычислить производную функции