Математика примеры решения задач курсовой работы

Непрерывность функции на множестве

Функция , , называется непрерывной на множестве , или говорят, что функция   принадлежит множеству всех функций, непрерывных на множестве  (сокр. ), если она непрерывна в каждой точке множества .

Например, функция  непрерывна на множестве , но не является непрерывной на , поскольку в точке  она не задана.

Если функцию доопределить при , то  – точка разрыва второго рода.

Выделим свойства функций, непрерывных на отрезках
(на сегментах).

ТЕОРЕМА ВЕЙЕРШТРАССА

Всякая функция, непрерывная на сегменте, ограничена на нем, т.е. , ; .

Приведем пример функции (заданной для удобства графически), иллюстрирую-щей содержание теоремы.

Обратное утверждение не имеет места, для этого достаточно указать соответствую-щий пример – контрпример.

Контрпример.  

Множество  – ограниченное, но функция не является непрерывной на .

ПРИМЕРЫ на существенность условий теоремы

1. Если   не является непрерывной на , то множество значений ее может быть неограниченным (заключение теоремы не имеет места).

ПРИМЕР.  на   имеет точку разрыва второго рода ; множество  – неограниченное.

2. Если   непрерывна на множестве , но  – не является
сегментом, то множество значений функции на  может оказаться неограниченным.

ПРИМЕР. .

Доказательство теоремы проведем методом от противного.

Пусть   – неограниченное множество, т.е. .

Последовательность  – ограниченная и из нее можно
выделить сходящуюся подпоследовательность, т.е. .

Тогда в силу предположения для всякого   и
при   .

Но по условию теоремы  непрерывна в точке , , и  – конечное число.

Полученное противоречие доказывает теорему.


Вычислить производную функции