Фонарь-электрошокер

Гуманитарные науки

У нас студенты зарабатывают деньги

 Дипломы, работы на заказ, недорого

Дипломы, работы на заказ, недорого

 Cкачать    курсовую

Cкачать курсовую

 Контрольные работы

Контрольные работы

 Репетиторы онлайн по английскому

Репетиторы онлайн по английскому

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Математика примеры решения задач курсовой работы

Непрерывная в точке функция локально ограничена.

Арифметические операции: сложение, разность и произведение конечного множества непрерывных в одной и той же точке функций – определяют функцию, непрерывную в той же точке. Деление непрерывных функций определяет
непрерывную функцию в любой точке, кроме нулей знаменателя.

Именно поэтому целая рациональная функция (многочлен)  – всюду непрерывная функция; дробно-рациональная функция  в любой точке, кроме нулей знаменателя, непрерывна. Можно доказать, что всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке своей области существования.
Например,   – непрерывна в любой точке . Если функцию  доопределить в точках  каким-либо значением, например рассмотреть  то функция  имеет точки разрыва второго рода при .

3. Утверждение о сохранении знака

Если функция  непрерывна в точке  и , то существует окрестность , в каждой точке которой  при .

Доказательство. Пусть для определенности ;
тогда, используя определение непрерывности функции в
точке , имеем

, т.е. .

Итак, в любой точке построенной окрестности  .

Аналогичные рассуждения при .

4. Непрерывность сложной функции

Пусть , , множества  – числовые множества. Тогда функция  называется СЛОЖНОЙ функцией, реализующей следующие отображения:

.

Если 1)  – непрерывна в точке ;

  2)  – непрерывна в точке ,

то сложная функция  непрерывна в точке .

В самом деле,

.

Здесь использовано свойство непрерывности компонент сложной функции.

Различные определения непрерывности функции в точке

Эквивалентность определений либо следует из эквивалентности определений конечного предела функции, либо может быть установлена.

Пусть . Тогда эквивалентны следующие определения непрерывности функции в точке.

Через пределы: ( – непрерывна в точке )

  .

Определение по Коши (на языке ):

( – непрерывна в точке )

.

Определение через приращения.

Обозначим  – приращение аргумента,  – приращение функции в точке  соответствующее . Тогда

( – непрерывна в точке ).

Определение по Гейне (через последовательности).

( – непрерывна в точке )

.

Через односторонние пределы:

( – непрерывна в точке )

.


Вычислить производную функции