Математика примеры решения задач курсовой работы

Непрерывная в точке функция локально ограничена.

Арифметические операции: сложение, разность и произведение конечного множества непрерывных в одной и той же точке функций – определяют функцию, непрерывную в той же точке. Деление непрерывных функций определяет
непрерывную функцию в любой точке, кроме нулей знаменателя.

Именно поэтому целая рациональная функция (многочлен)  – всюду непрерывная функция; дробно-рациональная функция  в любой точке, кроме нулей знаменателя, непрерывна. Можно доказать, что всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке своей области существования.
Например,   – непрерывна в любой точке . Если функцию  доопределить в точках  каким-либо значением, например рассмотреть  то функция  имеет точки разрыва второго рода при .

3. Утверждение о сохранении знака

Если функция  непрерывна в точке  и , то существует окрестность , в каждой точке которой  при .

Доказательство. Пусть для определенности ;
тогда, используя определение непрерывности функции в
точке , имеем

, т.е. .

Итак, в любой точке построенной окрестности  .

Аналогичные рассуждения при .

4. Непрерывность сложной функции

Пусть , , множества  – числовые множества. Тогда функция  называется СЛОЖНОЙ функцией, реализующей следующие отображения:

.

Если 1)  – непрерывна в точке ;

  2)  – непрерывна в точке ,

то сложная функция  непрерывна в точке .

В самом деле,

.

Здесь использовано свойство непрерывности компонент сложной функции.

Различные определения непрерывности функции в точке

Эквивалентность определений либо следует из эквивалентности определений конечного предела функции, либо может быть установлена.

Пусть . Тогда эквивалентны следующие определения непрерывности функции в точке.

Через пределы: ( – непрерывна в точке )

  .

Определение по Коши (на языке ):

( – непрерывна в точке )

.

Определение через приращения.

Обозначим  – приращение аргумента,  – приращение функции в точке  соответствующее . Тогда

( – непрерывна в точке ).

Определение по Гейне (через последовательности).

( – непрерывна в точке )

.

Через односторонние пределы:

( – непрерывна в точке )

.


Вычислить производную функции