Математика примеры решения задач курсовой работы

Второй замечательный предел .

Рассмотрим последовательность . Покажем, что последовательность возрастает и ограничена сверху.

Используя формулу бинома Ньютона

,

имеем

.

При   возрастающем растет число слагаемых, остающихся
положительными, причем каждое слагаемое не уменьшается, т.е. последовательность   – возрастающая (сокр. ).

Если оценить единицей каждый множитель вида  каждого слагаемого, то получим 

,

т.е. последовательность ограничена сверху.

По теореме Вейерштрасса существует конечный предел
рассмотренной последовательности; его значение обозначают
через . Вычисления показывают, что  – иррациональное число и .

Модификации второго замечательного предела

могут быть обоснованы.

Заметим, что второй замечательный предел раскрывает неопределенность вида , т.е. для степенно показательной функции   может быть применен, если основание  и показатель  при  (одновременно).


Вычислить производную функции