Математика примеры решения задач курсовой работы

Первый замечательный предел .

Сравниваем две б\м при  функции и устанавливаем их эквивалентность .

Доказательство. Функция  – четная на , поэтому рассматриваем на . Из геометрических соображений (известно

из школы) , т.е.   на  или  на .

Далее используем теорему о пределе промежуточной функции, поскольку  – показано ранее.

ТЕОРЕМА (о представлении функции, имеющей конечный
предел при )

Для того чтобы функция  имела при  конечный
предел , необходимо и достаточно, чтобы функция   была бесконечно малой при .

Символическая запись: 

.

Доказательство  рекомендуем провести самостоятельно. Оно следует из применения определения конечного предела функции.

В теореме указано необходимое и (одновременно) достаточное условие существования конечного предела функции, поэтому она – КРИТЕРИЙ существования конечного предела функции при .

ТЕОРЕМА (о произведении б/м на ограниченную функцию)

Произведение функции б/м при  на функцию, ограниченную на , есть функция б/м при .

Доказательство. Пусть  – ограниченная на  функция,, т.е. .

Пусть   – б/м при , т.е.

.

Тогда на окрестности  верно неравенство

.

Итак, , т.е. .

ПРИМЕР. , поскольку   – б/м последовательность,  – ограниченная последовательность.

Обратное утверждение неверно.

Контрпример.  – б/м при , но , и здесь  не является ограниченной в .

ТЕОРЕМА (о связи б\м и б\б)

Пусть  в . Тогда ( – б/м при )

  ( – б/б при ).

Доказать самостоятельно.

ПРИМЕР. Последовательность  может быть преобразована к виду , и тогда  вычисляется с помощью арифметических действий над бесконечно малыми последовательностями.

Арифметика бесконечно больших функций (последовательностей), как правило, приводит к неопределенностям, их иногда удается раскрыть, используя расширенную теорему о связи б/м и б/б).


Вычислить производную функции