Фонарь-электрошокер

Гуманитарные науки

У нас студенты зарабатывают деньги

 Дипломы, работы на заказ, недорого

Дипломы, работы на заказ, недорого

 Cкачать    курсовую

Cкачать курсовую

 Контрольные работы

Контрольные работы

 Репетиторы онлайн по английскому

Репетиторы онлайн по английскому

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Математика примеры решения задач курсовой работы

Предел и непрерывность функции одной переменной

Контрпример. Пусть , , тогда . Но сумма функций может быть представлена слагаемыми (неоднозначно), например в виде  и , и пределы слагаемых при  не являются конечными числами (не существуют).

2. Представим

.

Имеем  – конечное число, поэтому   – локально ограничена, т.е. .

Исходя из определения конечного предела при  имеем также  .

При   оценивать второе слагаемое в представлении не
требуется. При   расшифруем

.

Получаем на окрестности  , и по определению предела

.

Итак, предел ПРОИЗВЕДЕНИЯ функций равен ПРОИЗВЕДЕНИЮ пределов функций, если предел каждой функции в произведении – конечное число.

Обратное утверждение неверно.

Контрпример. Пусть , , тогда . Но произведение функций может быть представлено сомножителями неоднозначно, например  и , и тогда предел сомножителя  не является конечным.

3. Существование предела частного функций  доказывается аналогично, если предварительно установить ограниченность функции  на некоторой окрестности .

Теорема задает лишь ДОСТАТОЧНЫЕ условия существования предела суммы, произведения и частного функций при ; может быть применена для вычисления пределов функций.

Свойства бесконечно больших (б/б) и

бесконечно малых (б/м) функций

ОПРЕДЕЛЕНИЕ (б/м функции  при )

Функция , ,  называется бесконечно малой при  (сокр. б/м), если при  она имеет нулевой, а значит, конечный предел, т.е.

( – б/м при ).

Например,  – б/м при ; заметим, что одновременно  – б/б при .

ТЕОРЕМА (об арифметике б/м функций в одной и той же точке)

Если  и   – бесконечно малые функции при , то сумма  – б/м при ;

произведение  – б/м при .

Отношение бесконечно малых  при  требует специального рассмотрения.

СРАВНЕНИЕ б/м функций при  приводит к различным возможным ситуациям, которые схематично можно описать соотношением

Здесь символ  читается " малое от ", и означает, что при   ( – б/м при ) и  какая-либо бесконечно малая при  функция , такая, что  при ; говорят, " – б/м при  большего
порядка по сравнению с б/м .

Например, если  – б/м при , то , поскольку .

ПРИМЕР.   – б/м при ;  – б/м при . Сравним эти б/м, вычисляя  Очевидно, что этот предел не существует и б/м не сравниваются при .

Подчеркнем, что сравнение бесконечно малых приводит к неоднозначному ответу, т.е. имеем дело с НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬЮ. Вычисление предела  или доказательство его отсутствия в этом случае называем "раскрытием" неопределенности.


Вычислить производную функции