Математика примеры решения задач курсовой работы

Предел и непрерывность функции одной переменной

Контрпример. Пусть , , тогда . Но сумма функций может быть представлена слагаемыми (неоднозначно), например в виде  и , и пределы слагаемых при  не являются конечными числами (не существуют).

2. Представим

.

Имеем  – конечное число, поэтому   – локально ограничена, т.е. .

Исходя из определения конечного предела при  имеем также  .

При   оценивать второе слагаемое в представлении не
требуется. При   расшифруем

.

Получаем на окрестности  , и по определению предела

.

Итак, предел ПРОИЗВЕДЕНИЯ функций равен ПРОИЗВЕДЕНИЮ пределов функций, если предел каждой функции в произведении – конечное число.

Обратное утверждение неверно.

Контрпример. Пусть , , тогда . Но произведение функций может быть представлено сомножителями неоднозначно, например  и , и тогда предел сомножителя  не является конечным.

3. Существование предела частного функций  доказывается аналогично, если предварительно установить ограниченность функции  на некоторой окрестности .

Теорема задает лишь ДОСТАТОЧНЫЕ условия существования предела суммы, произведения и частного функций при ; может быть применена для вычисления пределов функций.

Свойства бесконечно больших (б/б) и

бесконечно малых (б/м) функций

ОПРЕДЕЛЕНИЕ (б/м функции  при )

Функция , ,  называется бесконечно малой при  (сокр. б/м), если при  она имеет нулевой, а значит, конечный предел, т.е.

( – б/м при ).

Например,  – б/м при ; заметим, что одновременно  – б/б при .

ТЕОРЕМА (об арифметике б/м функций в одной и той же точке)

Если  и   – бесконечно малые функции при , то сумма  – б/м при ;

произведение  – б/м при .

Отношение бесконечно малых  при  требует специального рассмотрения.

СРАВНЕНИЕ б/м функций при  приводит к различным возможным ситуациям, которые схематично можно описать соотношением

Здесь символ  читается " малое от ", и означает, что при   ( – б/м при ) и  какая-либо бесконечно малая при  функция , такая, что  при ; говорят, " – б/м при  большего
порядка по сравнению с б/м .

Например, если  – б/м при , то , поскольку .

ПРИМЕР.   – б/м при ;  – б/м при . Сравним эти б/м, вычисляя  Очевидно, что этот предел не существует и б/м не сравниваются при .

Подчеркнем, что сравнение бесконечно малых приводит к неоднозначному ответу, т.е. имеем дело с НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬЮ. Вычисление предела  или доказательство его отсутствия в этом случае называем "раскрытием" неопределенности.


Вычислить производную функции