Математика примеры решения задач курсовой работы

Предел и непрерывность функции одной переменной

Теорема о переходе к пределу в равенстве

Если  на   и существует , то существует  и .

ПРИМЕР. Поскольку  для  и , то .

ТЕОРЕМА (о переходе к пределу в неравенстве)

Если  или   на  и существуют  – к.ч. и  – к.ч., то .

Доказательство можно провести методом от противного.
Рекомендуем провести самостоятельно.

ТЕОРЕМА (о перенесении неравенства между пределами на функции)

Если существуют пределы  и  и выполняется неравенство , то существует окрестность ,
на которой .

Доказательство. Имеем

,

в частности, при   :  , т.е. . Аналогично

,

в частности, при   , т.е.  или .

Поскольку при  , то на пересечении окрестностей  имеем , т.е. указали окрестность , на которой характер неравенства между пределами переносится на функции.

Следствие. Если  – конечное число и , то можно указать окрестность , на которой .

ТЕОРЕМА (о пределе промежуточной функции)

Если  на   и существуют  и  и их значения конечны и равны, то существует предел промежуточной функции  и его значение совпадает со значением пределов оценивающих слева и справа функций.

Доказательство рекомендуем построить самостоятельно,
используя определение предела по Коши для функций  и  при .

ТЕОРЕМА (об арифметике функций, имеющих конечный предел в одной и той же точке)

Пусть функции  и  при  имеют конечные пределы, т.е. , ,  и  – конечные числа.

Тогда при  имеет конечный предел каждая из функций:

1) ;  2) ; 3)  (при ).

Доказательство. 1. Операция сложения функций определяется поточечно. Утверждение верно для произвольного конечного
множества функции. Здесь рассматривается сумма двух функций.

Имеем , т.е. для всякого  (в частности, для ) существует   так, что  .

Аналогично ()(, ).

Рассмотрим и оценим: 

на .

Итак,   , т.е. по определению предела  – конечное
число, причем предел СУММЫ функций равен СУММЕ пределов слагаемых функций, если предел каждой слагаемой функции – конечное число.

Заметим, что обратное утверждение неверно, т.е. существование конечного предела суммы функций не определяет существование предела каждого слагаемого.


Вычислить производную функции