Математика примеры решения задач курсовой работы

Предел и непрерывность функции одной переменной

ПРИМЕР 9. Показать, что  не существует.

РЕШЕНИЕ. Согласно определению предела по Гейне , если для всякой последовательности  :  выполняется . Укажем две последовательности  и , "двигаясь" по которым к   получаем  и , т.е. предел функции  при  не существует.

2.2. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ

(о свойствах функций, имеющих конечные пределы)

ТЕОРЕМА (о единственности предела)

Пусть произвольная функция  определена в некоторой
окрестности точки , .

Тогда если функция  при  имеет конечный предел, то он единственный, т.е.

.

Доказательство методом от противного

Предположим . Тогда

,

в частности и при ;

,

в частности и при .

Отсюда на  имеем

  – неверное числовое неравенство.

Вывод: предположение о существовании не единственного
предела – ложное. Теорема доказана.

Частный случай (для последовательности)

.

Если предположить наличие двух различных пределов, то можно указать непересекающиеся окрест-ности этих пределов, в которые должны попадать одновременно ВСЕ
члены последовательности, начиная с некоторого.


Вычислить производную функции