Математика примеры решения задач курсовой работы

Предел и непрерывность функции одной переменной

Для удобства изучения и геометрического представления последовательности обычно переобозначают   и последовательность  изображают точками на числовой оси.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ конечного предела последовательности

,

т.е. последовательность имеет конечный предел при  (сходится) тогда и только тогда, когда для всякого положительного числа   можно указать номер (значение ), начиная с которого все  удалены от числа  меньше чем на  (все члены последовательности  с номерами, большими , лежат в , вне  расположено лишь конечное множество членов последовательности).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ  бесконечно большой последовательности

.

Теория сходящихся последовательностей и свойств б/б последовательностей – частный случай соответствующих вопросов для функции в общем случае.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ предела функции (по Гейне)

Пусть ,  – предельная точка множества . Тогда

,

т.е.  есть предел функции при   тогда и только тогда, когда для всякой последовательности аргументов функции, состоящей из точек множества , отличных от , и сходящейся к , соответствующая последовательность значений функции имеет пределом .

Доказано (см. [1]), что определения предела по Коши и по Гейне эквивалентны, т.е. если согласно определению (по Коши) , то и соответственно определению (по Гейне) , и наоборот.

Итак, последовательность – средство изучения поведения функции. Но для доказательства существования предела нужно убедиться, что для всякой последовательности   аргументов, сходящейся к , последовательность  сходится к одному и тому же пределу (или к ). Поскольку таких последовательностей  бесконечное множество, то перебрать их все, в общем-то, трудно. Поэтому определение предела функции по Гейне чаще используется для установления отсутствия конечного предела функции
при .


Вычислить производную функции