Математика примеры решения задач курсовой работы

Некоторые понятия и операции математической логики

Обратная противоположная теорема

: [ – неограниченная]  [ – не сходится] является истинной, доказать это легко методом от противного.

Если предположить, что неограниченная последовательность сходится, то по прямой теореме она должна быть ограниченной.

Необходимые и достаточные условия

Пусть доказана теорема . Тогда говорят, что условие  является ДОСТАТОЧНЫМ для истинности заключения  (в то же время, высказывание   – НЕОБХОДИМОЕ условие истинности ).

Рассмотрим при этом ОБРАТНОЕ утверждение .

Если это утверждение истинно, т.е. обратная теорема доказана,
то ее условие   является ДОСТАТОЧНЫМ для истинности   (в то же время,  – НЕОБХОДИМОЕ условие истинности).

Таким образом, если истинны прямая и обратная теоремы, то их объединяют в одной формулировке, используя логическую операцию тождества высказываний , и используют слова "необходимо и достаточно", "тогда и только тогда, когда" и т.д. Здесь условие  является НЕОБХОДИМЫМ И ДОСТАТОЧНЫМ (одновременно) для истинности  (в свою очередь, высказывание  – необходимое и достаточное условие для истинности ).

Связь понятий "сходимость" и "ограниченность" последовательности (разобрана ранее) позволяет сказать, что "сходимость" – лишь достаточное условие "ограниченности" последовательности. С другой стороны, "ограниченность" последовательности – лишь необходимое условие "сходимости" ее (не является достаточным). Теорему о связи этих понятий можно сформулировать только как одностороннюю теорему, словами "если …, то …".

ПРИМЕРЫ теорем с необходимым и достаточным (одновременно) условием:

  ( – равнобедренный)

  (углы при одной из сторон равны).

, , ()  

  .


Вычислить производную функции