Множества пределы производная и интеграл

Математика
Ряды Фурье
Типовой расчет
Предел последовательности
Полярная и сферическая системы координат
Периодические функции
Квадратный трехчлен
Обратные тригонометрические функции
Графические методы решения задач
Параллельные прямые
Сумма углов треугольника
Теорема синусов
Изображение многоугольников
и многогранников
Построения на изображениях
Параллелепипед
Касания круглых тел с прямой и плоскостью
Поверхности второго порядка
Ранг матрицы
Метод Гаусса
Действия с матрицами
Векторная алгебра
Преобразование прямоугольных
координат на плоскости
Поверхности и линии в пространстве
Уравнение прямой в пространстве
Предел функции на бесконечности
Физический смысл дифференциала
Производная сложной функции
Частные производные
Ряды Фурье в комплексной форме
Комплексная форма ряда Фурье
Двойной интеграл
Задача о вычислении массы тела
Криволинейный интеграл
Лабораторные по электротехнике
Полупроводниковые выпрямители
Задачи по курсу общей физики
Резисторы, индуктивности, емкости
Плотность тока и закон Ома
Электромагнетизм
Трехфазный асинхронной электродвигатель
Правила Кирхгофа
Цепь переменного тока
Измерение силы тока и напряжения
Основы электродинамики
Волновая оптика

Волновая теория света

Индуктивность соленоида
Магнитное поле в веществе

Тепловое излучение

Методика решения задач по кинематике
Первый и второй законов Кеплера
Задачи для самостоятельного решения
Тепловая и электромагнитная энергия
Механические волны
Электромагнитные колебания
Вынужденные электрические колебания.

Энергия и импульс электромагнитной волны

Контрольная
Лабораторные работы
Электрические цепи постоянного тока
Магнитная индукция
Контрольная работа
Волновая оптика
Фотоны.
Статистическая физика
Электротехника
Элементы кристаллографии
Теория радиосигналов
Теория сигналов
Сигналы с полосовыми спектрами
Анализ радиосигналов в избирательных
цепях
Генерирование колебаний в электрических
цепях
Анализ нелинейных цепей
Анализ параметрических цепей
Фильтрация сигналов на фоне помех
Синтез цифровых фильтров
Графика
Инженерная графика
Начертательная геометрия
Виды проецирования
Проецирование точки на две плоскости проекций
Натуральная величина отрезка прямой
Взаимное положение двух прямых
Плоскость
Прямая и точка в плоскости
Параллельность плоскостей
Параллельность прямой и плоскости
Основные задачи замены плоскостей проекций
ОБРАЗОВАНИЕ И ИЗОБРАЖЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Цилиндроид, коноид, косая плоскость.
Пересечение поверхностей плоскостью
Прямой круговой усечённый конус
Сущность аксонометрического проецирования
Косоугольная фронтальная диметрия
История ландшафтного дизайна
Английские цветочные сады
В эпоху Елизаветы в ландшафтных
садах
Под влиянием Франции
английские садоводы
Знаменитая английская
школа пейзажистов
Информатика
Выбор архитектуры сети
Сетевые операционные системы
Физическая среда передачи данных
Технология WI-FI
Подключаемся к точке доступа
Беспроводная технология WiMAX
Протоколы безопасности
беспроводных сетей
Стандарт сети с повышенной
безопасностью
Точка доступа со съемной антенной
 

Элементы теории множеств Понятие "множество" – неопределяемое понятие. Под множеством понимается "набор", "коллекция", "совокупность" и т.п. отличающихся друг от друга объектов, объединенных каким-либо общим свойством. Предметы или объекты, составляющие множество, называются элементами множества.

Операции над множествами названиями похожи на арифметические операции, но существенно другие.

Доказать, что . РЕШЕНИЕ. Два множества совпадают, если каждое из них является подмножеством другого.

Множество всех четных чисел  эквивалентно множеству . В самом деле, отображение (правило)  устанавливает взаимно-однозначное соответствие между множествами  и .

Не всякое бесконечное множество является счетным

Некоторые понятия и операции математической логики

Если  – истинное высказывание, то высказывание не  построится так:  или , т.е.  – ложное.

Для описания области истинности предиката используют кванторы

Всякая теорема в математике состоит из разъяснительной части (описания тех объектов, о которых идет речь в теореме) и связанных между собой высказываний. Под теоремой понимают всегда истинное высказывание. Теоремы часто формулируют в виде импликаций вида .

Обратная противоположная теорема

Свойтва числовых множеств

Предел и непрерывность функции одной переменной Понятие предела функции  при , стремящемся к  (сокр. ), является основным понятием математического анализа. Оно характеризует поведение функции  вблизи точки , т.е. существование предела и его значение определяют локальное свойство

В определении предела значение функции в точке   не участвует, поэтому функция   в точке  может быть не определена (не задана).

Для удобства изучения и геометрического представления последовательности обычно переобозначают   и последовательность  изображают точками на числовой оси.

Числовая последовательность – множество значений функции, определенной на множестве всех натуральных чисел, записанное в порядке возрастания , т.е. .

Показать по определению . . Показать .

Показать, что  не существует.

Теорема о локальной ограниченности функции, имеющей при   конечный предел

Теорема о переходе к пределу в равенстве Контрпример. Пусть , , тогда .

Но сумма функций может быть представлена слагаемыми (неоднозначно), например в виде  и , и пределы слагаемых при  не являются конечными числами (не существуют).

Первый замечательный предел .

Сравниваем две б\м при  функции и устанавливаем их эквивалентность .

Односторонние пределы

Второй замечательный предел .

Непрерывность функции в точке

Непрерывная в точке функция локально ограничена. Арифметические операции: сложение, разность и произведение конечного множества непрерывных в одной и той же точке функций – определяют функцию, непрерывную в той же точке. Деление непрерывных функций определяет непрерывную функцию в любой точке, кроме нулей знаменателя.

Непрерывность функции на множестве Функция , , называется непрерывной на множестве , или говорят, что функция   принадлежит множеству всех функций, непрерывных на множестве  (сокр. ), если она непрерывна в каждой точке множества .

Теорема Вейерштрасса

Производная функции в точке

Показать по определению дифференцируемость функции  в произвольной точке

Правила дифференцирования.

Производная обратной функции Понятие ОБРАТИМОСТИ функции относится к свойствам функции на множестве (глобальное свойство). Будем рассматривать функцию , ; здесь  – область задания функции:  – множество значений функции.

Формулы производных конкретных функций

Вычислить производную функции  на ОДЗ. РЕШЕНИЕ. Можно дифференцировать последовательно: сначала логарифмированную функцию, затем по формулам производной дроби и произведения. На проще сначала выражение прологарифмировать, а затем уже дифференцировать.

Теорема Ферма

Теорема Лагранжа

Правило Лопиталя не является универсальным, оно применимо лишь тогда, когда существует предел отношения производных .

Разложить функцию  в окрестности точки , взяв . РЕШЕНИЕ. Воспользуемся формулой Маклорена при .

Исследование функции и построение ее графика

ТЕОРЕМА (достаточное условие существования точки локального экстремума функции)

Неопределенный интеграл Ранее рассматривалось понятие производной функции, ее геометрический смысл, свойства, правила нахождения. Во многих технических задачах требуется решение обратной задачи: отыскание функции по заданной ее производной функции. Например, задача об определении закона прямолинейного движения  материальной точки по заданной ее скорости . Решение сформулированной задачи основано на понятии первообразной функции.

Свойства неопределенного интеграла базируются на свойствах дифференциала функции

Вычислить интеграл .

Сведение исходного интеграла к табличному тесно связано с операцией подведения функции под знак дифференциала: . Функция  – какая-то первообразная для  и ее подбирают, используя формулы дифференцирования и правила дифференцирования.

Вычислить . РЕШЕНИЕ. Снова выбор табличного интеграла, к которому попытаемся свести интеграл , проведем по структуре подынтегрального выражения. Оно представляет собой дробь, знаменатель которой содержит квадратный корень разности положительного числа  и квадрата функции – .

Интегрирование тригонометрических функций вида

Вычислить .

Эффективность метода интегрирования по частям определяется умением правильно определить, для каких интегралов применима формула (*) и как наиболее рационально расчленить подынтегральное выражение  на произведение , т.е. как выбрать функции  и , чтобы идея интегрирования по частям была осуществлена.

Приведем некоторые рекомендации такого выбора. Вычислить , .

Вычислить , применяя интегрирование по частям,  – число, .

Метод замены переменной (интегрирование подстановкой)

Иногда по структуре подынтегрального выражения удается догадаться не о самой подстановке , а о виде функции  – обратной для  – с тем, чтобы свести исходный интеграл к одному из табличных интегралов.

Дробно-рациональная функция (рациональная дробь) определяется формулой ,

Способы отыскания введенных здесь и пока неизвестных коэффициентов, объединенные названием "Метод неопределенных коэффициентов", покажем на конкретных примерах. ПРИМЕР 1. Разложить на простейшие дроби рациональную дробь .

Вычислить .

Интегрирование с помощью рационализации подынтегральных выражений

Вычислить .

Интеграл от функции , где , ,  и  – постоянные,   – целое положительное число, рационализируется подстановкой .