Начертательная геометрия

Гуманитарные науки

У нас студенты зарабатывают деньги

 Дипломы, работы на заказ, недорого

 Контрольные работы

Контрольные работы

 Репетиторы онлайн по английскому

Репетиторы онлайн по английскому

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Начертательная геометрия
Начертательная геометрия
Виды проецирования
Проецирование точки на две плоскости проекций
Натуральная величина отрезка прямой
Взаимное положение двух прямых
Плоскость
Прямая и точка в плоскости
Параллельность плоскостей
Параллельность прямой и плоскости
Основные задачи замены плоскостей проекций
ОБРАЗОВАНИЕ И ИЗОБРАЖЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Цилиндроид, коноид, косая плоскость.
Пересечение поверхностей плоскостью
Прямой круговой усечённый конус
Сущность аксонометрического проецирования
Косоугольная фронтальная диметрия
 

Параллельность прямой и плоскости.

Из элементарной геометрии известно, что прямая параллельна плоскости, если в плоскости можно провести прямую, параллельную заданной прямой.

(mn)(n) m

Через точку, не принадлежащую плоскости, можно провести бесконечное количество прямых, параллельных плоскости. Для получения единственного решения нужно наложить дополнительное условие, например, построить прямую, параллельную сразу двум плоскостям.

Пример 1: Через точку А провести прямую l, параллельную заданной плоскости .

Рис.1

l2N2M2
l1 M1N1

Пример 2: Через точку А провести прямую, параллельную заданной плоскости и плоскости проекций V.

Рис.2

l2f2
l1f1

7. Пересечение прямой с плоскостью.

Определение точки встречи прямой с плоскостью относится к элементарным задачам начертательной геометрии, но значение этой задачи большое, так как эта задача входит составной частью в решение многих других позиционных и метрических задач.

Метрические задачи - задачи, в которых определяют размеры геометрических элементов и расстояния между ними.

Определение видимости на эпюрах.

При пересечении прямой с плоскостью для улучшения наглядности чертежа для показа видимых линий применяют сплошные основные линии, для невидимых линий - штриховые. При показе видимости линий на эпюре предполагается, что:

Плоскости и поверхности непрозрачные.

Наблюдатель всегда находится в первой четверти или первой октанте.

Луч зрения от наблюдателя перпендикулярен к той или иной плоскости проекций (по отношению к которой определяется видимость).

Метод конкурирующих точек.

Точки, относящиеся к различным геометрическим объектам и лежащие на одном проецирующем луче, называются конкурирующими в видимости по отношению к той плоскости проекций, к которой проецирующий луч перпендикулярен.

Рис.3

Если точка А и точка В лежат на одном проецирующем луче lH, то есть ABlH, то точки А и В называются конкурирующими в видимости по отношению к плоскости H. Причем точка А видимая. Она заслоняет точку В. Точка В невидимая.

Аналогично, СDkV. С - видимая. D - невидимая.

Рис.4

На эпюре из двух конкурирующих точек будет видима та проекция, которая дальше отстоит от плоскости проекций, по отношению к которой они конкурируют.

Рассмотрим общий случай: Плоскость и пересекающая ее прямая произвольно расположены в пространстве.

Для нахождения точки встречи прямой с плоскостью в этом случае нужно:

Через прямую m провести вспомогательную плоскость S; mS

Построить прямую пересечения l плоскостей и S; l=S.

Построить точку пересечения К - точку встречи, как результат пересечения прямых l и m. K=lm.

Рис.5

Рис.6

12V
22 m2
M1H
31m1

При определении видимости на плоскость Н рассматриваем проекции конкурирующих точек на плоскость V, а при определении видимости на плоскость V рассматриваем проекции конкурирующих точек на плоскости Н.

Пример. Определить точку встречи прямой m и плоскости Р, заданной треугольником АВС.

Рис.7

32m2
42[B2C 2]
11[A1C1]
51 m1

Пересечение плоских фигур.

Для построения линии пересечения плоских фигур рекомендуется найти точки встречи двух сторон одной плоской фигуры с плоскостью другой фигуры.

Метрические задачи.

Метрические задачи - задачи, в которых определяют размеры геометрических элементов и расстояния между ними.

Построение взаимно перпендикулярных прямых и плоскостей, наряду с определением расстояния между двумя точками, являются основными графическими операциями при решении метрических задач.

8. Перпендикулярность прямой и плоскости.

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна каждой из двух пересекающихся прямых, лежащих в плоскости.

Если в плоскости взять не произвольные пересекающиеся прямые, а ее горизонталь и фронталь, то появляется возможность воспользоваться теоремой о проецировании прямого угла:

Если в плоскости взять не произвольные пересекающиеся прямые, а ее горизонталь и фронталь, то появляется возможность воспользоваться теоремой о проецировании прямого угла:

"Если из двух взаимно перпендикулярных прямых одна прямая частного положения, то прямой угол между ними проецируется без искажения на ту плоскость проекций, которой параллельна прямая частного положения."

Дана плоскость Р, заданная фронталью и горизонталью Р(hf) и точка К на этой плоскости К=fh. Нужно из точки К восстановить перпендикуляр к плоскости Р (nP).

Рис.1

nK; nf; nh.
Следуя теореме о проецировании прямого угла n1h1 и n2f2.

Рис.2

Следовательно, если прямая перпендикулярна плоскости, то её горизонтальная проекция перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали, а фронтальная проекция - фронтальной проекции фронтали.

Так как h1PH, а f2PV, то n1PH и n2PV.

То есть, если прямая перпендикулярна плоскости, то её горизонтальная проекция перпендикулярна горизонтальному следу плоскости, а фронтальная проекция - фронтальному следу плоскости.

Пример 1: Даны плоскость Р, заданная следами, и точка А. Нужно опустить из точки А перпендикуляр на плоскость Р и найти его основание.

Рис.3

An
n2PV
n1PH
nS
SH

Пример 2: Даны плоскость Р, заданная треугольником BCD, и точка А. Нужно из точки А опустить перпендикуляр на плоскость Р(BCD) и найти его основание.

Рис.4

[B1]h
[C2]f
n2f2
n1h1
nS
SH
l=SP
K=ln

 

 

 

Перпендикулярность прямых общего положения.

Построение перпендикуляров к плоскости, перпендикулярных прямых и перпендикулярных плоскостей является основными графическими операциями при решении метрических задач.

Прямой угол между перпендикулярными прямыми общего положения на плоскости проекций проецируется с искажениями, поэтому задачу о построении перпендикуляра к прямой общего положения решают с помощью условия перпендикулярности прямой и плоскости.

Рассмотрим случай построения перпендикуляра из точки А к прямой общего положения m.

Эта задача решается следующей последовательностью графических операций:

Через точку А проводится плоскость Q, перпендикулярная прямой m.

Определяется точка встречи прямой m с плоскостью Q. K=mQ.
Для этого проводят вспомогательную плоскость S. mS; l=SQ.

Соединяют точку А с точкой К. АКm, так как он лежит в плоскости, перпендикулярной прямой m.

Таким образом, две прямые перпендикулярны, если одна из них лежит в плоскости, перпендикулярной другой прямой.

Чтобы посмотреть, как эти построения выполнить на эпюре, рассмотрим пример:

Даны прямая общего положения m и точка А. Требуется опустить перпендикуляр из точки А на прямую m.

Рис.5

Q(hf) AQ;
f2m2 h1m1 Qm;
mS;
l=SQ
K=ml
AKm.

Рис.6

10. Перпендикулярность плоскостей.

Две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них содержит прямую, перпендикулярную другой плоскости.

Поэтому построение плоскости Р, перпендикулярной к плоскости Q, можно осуществить двумя путями:

Проводим прямую m, перпендикулярную к плоскости Q, затем прямую m заключаем в плоскость Р.
(mQ)(mP)PQ

Проводим прямую n, перпендикулярную или параллельную плоскости Q, затем строим плоскость Р, перпендикулярную к прямой n.
(nQ)(nP)PQ

Так как через прямую m можно провести множество плоскостей (первый путь решения) и в плоскости или параллельно её можно провести множество прямых n (второй путь решения), то задача имеет множество решений.

Поэтому для получения единственного решения нужно наложить дополнительные условия, например, потребовать, чтобы плоскость Р проходила через точку А, принадлежащую другой плоскости (Q).

Пример: Даны плоскость Р (ABC) и точка D. Нужно через точку D провести плоскость QР.

Рис.7

aQ, Da.
Плоскость P удобно задать: [C1]h [A2]f
n2f2 n1h1 (Dn)
Q(na)

Рассмотрим случай когда горизонтально проецирующая плоскость S перпендикулярна к плоскости общего положения P.

Рис.8

Если (SH)(SP), то SPH, как к линии пересечения плоскостей P и H. PH=PH.
Отсюда PHS и, следовательно PHSH, как к одной из прямых в плоскости S.

Однако, если одноимённые следы двух плоскостей общего положения взаимно перпендикулярны, то сами плоскости не перпендикулярны между собой, так как при этом не соблюдается условие перпендикулярности плоскостей.

Содержание и задачи курса начертательной геометрии