Начертательная геометрия

Начертательная геометрия
Виды проецирования
Проецирование точки на две плоскости проекций
Натуральная величина отрезка прямой
Взаимное положение двух прямых
Плоскость
Прямая и точка в плоскости
Параллельность плоскостей
Параллельность прямой и плоскости
Основные задачи замены плоскостей проекций
ОБРАЗОВАНИЕ И ИЗОБРАЖЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Цилиндроид, коноид, косая плоскость.
Пересечение поверхностей плоскостью
Прямой круговой усечённый конус
Сущность аксонометрического проецирования
Косоугольная фронтальная диметрия
 

Основные задачи замены плоскостей проекций.

Решение всех задач методом замены плоскостей проекций сводится к решению 4-х основных задач:

Первая задача: Заменить плоскость проекций так, чтобы прямая общего положения стала прямой уровня.

Вторая задача: Заменить плоскость проекций так, чтобы прямая уровня стала проецирующей прямой.

Решим обе задачи совместно:

Решение первой задачи: Пусть задана прямая общего положения отрезком [АВ]. Заменим плоскость V на V1
(V1H)(V1[AB]) x1[A1B1]
[A1A4]x1 [B1B4]x1
B2Bx=Bx1B4 A2Ax=Ax1A4
|А4B4|=|АB| - угол наклона АВ к плоскости Н.

Решение второй задачи: Заменим плоскость Н на Н1
(Н1V1)(H1[AB]) x2[A4B4]
Ax2A5=Bx2B5=A1Ax1=B1Bx1

Рис.5

Таким преобразованием можно решать задачи об определении истинной величины отрезка и углов наклона его к плоскостям проекций.

Совместное рассмотрение первой и второй задач позволяет решать задачи об определении:

расстояния от точки до прямой

расстояния между двумя параллельными прямыми

расстояния между скрещивающимися прямыми

Третья задача: Заменить плоскость проекций так, чтобы плоскость общего положения стала проецирующей плоскостью.

Четвёртая задача: Заменить плоскость проекций так, чтобы проецирующая плоскость стала плоскостью уровня.

Решим обе задачи совместно:

Решение третьей задачи: Пусть задана плоскость общего положения Р(ABC)
Заменим V на V1 (V1H)(V1P) x1[A111]
- угол наклона плоскости Р к плоскости Н.

Решение четвёртой задачи: Заменим Н на Н1 (Н1V1)(Н1P) x2[C4B4]

Рис.6

С помощью такого преобразования можно решать задачи на определение: углов наклона плоскости к плоскости проекций, расстояния от точки до плоскости, расстояния между параллельными плоскостями.

Совместное решение задач 3 и 4 позволяет решать задачи на определение: натуральных величин плоских фигур, углов между пересекающимися прямыми, расстояния между параллельными прямыми, расстояния от точки до прямой.

2. Вращение вокруг прямых уровня.

Сущность способов вращения заключается в том, что заданную геометрическую фигуру путём вращения вокруг некоторой оси перемещают в пространстве до тех пор, пока она не займёт частное положение относительно плоскостей проекций.

Эффективным приёмом, упрощающим решение задач, связанных с определением метрических характеристик плоских фигур, является способ вращения этих фигур вокруг их линий уровня. Путём такого вращения можно плоскость, которой принадлежит рассматриваемая фигура, повернуть в положение, параллельное плоскости проекции.

(Сущность способа в том, что путём вращения вокруг линий уровня плоскость, в которой расположена фигура, переводится в положение, параллельное той плоскости проекций, которой параллельна прямая частного положения (линия уровня)).

При этом плоская фигура будет без искажения проецироваться на эту плоскость проекций.

При вращении вокруг горизонтали плоская фигура переводится в положение, параллельное плоскости H, при вращении вокруг фронтали в положение, параллельное плоскости V.

Рис.1

Точка A при вращательном движении перемещается по дуге (окружности), расположенной в плоскости, которая перпендикулярна оси вращения. Центр окружности будет находиться на оси вращения, а величина радиуса равна расстоянию от точки до оси вращения.

Т.к. в нашем случае ось вращения - горизонталь, то, следовательно, траектория точки А будет находиться в горизонтально-проецирующей плоскости.

SH; Sh; SHh1; [OAI]H
Точка O - центр вращения O=Sh
AAI[A1AI1]h1
На плоскость V окружность проецируется в эллипс (это построение мы не делаем).

Для того, чтобы на комплексном чертеже переместить точку A путём вращения вокруг линии уровня, нужно знать:

центр вращения,

истинную величину радиуса вращения.

Центр вращения O, как уже отмечено, находится в точке пересечения h с плоскостью S. Чтобы определить величину радиуса вращения |OA|, необходимо построить в плоскости Н прямоугольный треугольник О1А1A0. О1А0A1 ОA1 Для этого за катет принимаем горизонтальную проекцию [O1A1] отрезка OA; второй катет равен разности аппликат концов отрезка ОА |zA-zAI|=|A1|. Гипотенуза О1А1A0 это O1A0=R.

Рис.2

Новое, после поворота, положение точки AI1 находится в месте пересечения дуги окружности, проведённой из горизонтальной проекции центра вращения O1, радиусом, равным [O1A0] с горизонтальным следом SH плоскости S.

Пример: Дана плоскость P (ABC) - общего положения. Нужно вращением вокруг фронтали определить истинную величину треугольника (ABC).

Рис.3

Ход решения:

Строим фронталь в плоскости P;

Из точки B2 проводим перпендикуляр к f2;

Из точки C2 проводим перпендикуляр к f2;

R=O2BI0

Содержание и задачи курса начертательной геометрии